[论文解读] Statistical Learning of Value-at-Risk and Expected Shortfall

David Barrera, S Crépey+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2022

Statistical Methods and Inference参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文利用Rademacher复杂度和Vapnik-Chervonenkis（VC）理论，针对一般损失函数，在非平稳和依赖的学习样本下，推导出非参数回归的非渐近、分布自由的置信区间。研究建立了对风险价值（value-at-risk）和预期短缺（expected shortfall）近似估计误差的高概率界，将先前工作扩展至非平稳和依赖样本，提供了显式浓度不等式和最小二乘回归的最优性保证。

ABSTRACT

We propose a non-asymptotic convergence analysis of a two-step approach to learn a conditional value-at-risk (VaR) and a conditional expected shortfall (ES) using Rademacher bounds, in a non-parametric setup allowing for heavy-tails on the financial loss. Our approach for the VaR is extended to the problem of learning at once multiple VaRs corresponding to different quantile levels. This results in efficient learning schemes based on neural network quantile and least-squares regressions. An a posteriori Monte Carlo procedure is introduced to estimate distances to the ground-truth VaR and ES. This is illustrated by numerical experiments in a Student-$t$ toy model and a financial case study where the objective is to learn a dynamic initial margin.

研究动机与目标

• 推导在非平稳和依赖学习样本下，具有通用损失函数的非参数回归的非渐近、高概率界。
• 通过耦合技术将基于Rademacher复杂度的误差界扩展至依赖数据，改进独立同分布（i.i.d.）假设。
• 在非平稳和依赖抽样下，建立最小二乘回归在平均$L^2$-距离意义上的最优性。
• 为非平稳设定下的Rademacher理论提供一个自包含、易懂的参考，弥补文献中的空白。
• 支持[barcregobngusaa]中提出的风险价值和预期短缺估计方法的收敛性分析。

提出的方法

• 利用Rademacher复杂度理论，推导一般损失函数下经验风险与期望风险之间偏差的高概率上界。
• 通过经验过程理论应用浓度不等式，控制回归估计量与条件期望之间的偏差。
• 提出一种截断方法以处理重尾或无界响应，实现在$L^2$-可积条件下的界。
• 采用[ BG20 ]中的耦合技术，将基于独立性的界扩展至$β$-混合依赖样本。
• 推导一个关键不等式（推论4.1），该不等式界定了估计函数与真实条件期望之间的平均$L^2$-距离，同时包含截断带来的偏差和抽样带来的方差。
• 使用不等式$(a+b)^2 \leq (1+\eta)a^2 + (1+1/\eta)b^2$，将估计误差分解为偏差和方差分量，实现稳健界控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非平稳和依赖训练样本下，为具有通用损失函数的非参数回归推导出非渐近置信区间？
• RQ2 如何将Rademacher复杂度扩展至依赖数据，以提供估计误差的高概率界？
• RQ3 在非平稳和依赖设定下，最小二乘回归的最优收敛速率是多少？其与理论最优风险（oracle risk）相比如何？
• RQ4 如何结合截断与耦合技术，以在重尾响应设定下控制偏差与方差？
• RQ5 Vapnik-Chervonenkis理论在一般抽样假设下，对最小二乘回归最优性建立中起什么作用？

主要发现

• 本文在概率至少$1-\delta$下，建立了估计回归函数$\hat{g}$与真实条件期望$\Phi_k$之间平均$L^2$-距离的高概率界（4.63）。
• 该界（4.63）分解为三个部分：与函数类上确界风险成比例的项，通过$\epsilon_n(c,\lambda)$捕捉抽样偏差的项，以及涉及$\mathbb{E}[(|W_k|-B)^2 \mathbf{1}_{\{|W_k|>B\}}]$的截断偏差项。
• 该界对依赖性具有鲁棒性：[BG20]中的耦合方法使基于独立性的Rademacher界可扩展至$β$-混合样本。
• 结果（4.63）在紧致意义下是紧的，当$B \to \infty$且$\eta, \eta' \to 0$时，其退化为未截断情形。
• 本文表明，最小二乘回归方案在至多常数因子范围内达到最优$L^2$-风险，且在温和矩条件下，界按$O(\log(1/\delta)/n)$缩放。
• 该分析为[barcregobngusaa]中风险价值和预期短缺估计器的收敛性提供了严格的理论基础，尤其适用于分位数损失和最小二乘方案。