[论文解读] Steady-state distribution function for a gas of independent electrons far from equilibrium

Thomas Christen|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2009

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用 7

一句话总结

该论文提出一种基于熵产生率最小化的变分方法，用于推导远离平衡态的非相互作用电子气的稳态分布函数，其有效性超越线性响应范围。通过约束分布函数的矩，该方法为广义流体动力学方程提供闭合形式，实现了对包含宏观接触的介观系统中半经典输运行为的精确建模，涵盖弹道与扩散输运 regimes。

ABSTRACT

The quasi-stationary nonequilibrium distribution function of an independent electron gas interacting with a medium, which is at local thermal equilibrium, can be obtained by entropy production rate minimization, subject to constraints of fixed moments. The result is not restricted to the region near equilibrium (linear response) and provides a closure of the associated generalized hydrodynamic equations of the electron gas for an arbitrary number of moments. Besides an access to far from equilibrium states, the approach provides a useful description of semi-classical transport in mesoscopic conductors, particularly because macroscopic contacts can be naturally taken into account.

研究动机与目标

• 开发一种非微扰方法，用于确定远离平衡态的独立电子的稳态分布函数。
• 为具有任意数量矩的广义流体动力学方程提供闭合形式，且有效性超越线性响应范围。
• 实现对包含弹道与扩散输运 regimes 的介观导体中半经典输运行为的精确建模。
• 通过现象学相互作用算符自然地纳入宏观接触及载流子吸收/发射过程。
• 将适用范围扩展至具有非抛物能带及其他独立费米子系统的体系。

提出的方法

• 该方法在分布函数矩的固定约束下，最小化电子-介质系统的总熵产生率。
• 熵产生率由带有线性碰撞项 $\mathcal{L}(f_0 - f)$ 的玻尔兹曼输运方程（BTE）推导得出，该碰撞项用于建模与处于局部热平衡的介质的相互作用。
• 通过在矩约束下变分极小化熵产生率，获得分布函数 $f$，其形式为非高斯、非平衡态。
• 该方法使用完整的费米-狄拉克平衡分布 $f_0$，并通过吸收与发射项允许粒子数不守恒。
• 通过将 BTE 对速度进行矩积分，推导出密度 $n$、电流 $\mathbf{j}$ 和应力 $\Pi_{kl}$ 的流体动力学方程，其中源项来自 $\mathcal{L}(f_0 - f)$。
• 该方法应用于具有接触和局域散射体的一维量子线，采用线性化流体动力学方程及接触阻抗建模。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于熵产生率最小化的变分原理能否获得有效超越线性响应范围的非平衡分布函数？
• RQ2 如何为具有任意数量矩的非平衡电子气中的广义流体动力学方程提供闭合形式？
• RQ3 能否在流体动力学输运模型中自然地纳入宏观接触及载流子注入/吸收过程？
• RQ4 当通过该闭合方法推导时，具有局域散射体的介观导体的低频导纳是多少？
• RQ5 该方法在弹道输运和非抛物能带情况下是否依然有效？

主要发现

• 在矩约束下通过熵产生率最小化获得稳态分布函数，其形式为非高斯、非平衡态，且在远离平衡区域有效。
• 该方法为具有任意数量矩的广义流体动力学方程提供闭合形式，可实现从扩散到弹道输运 regimes 的输运行为模拟。
• 对于具有局域散射体的一维量子线，低频导纳被推导为 $G = \frac{2e^2}{h}\mathcal{T} + i\omega\frac{D}{4}\mathcal{T}^2$，其中 $D = 4e^2L/hv_F$，在接触电容趋于零的极限下与已知结果一致。
• 局部熵产生率被发现集中在接触区域，满足 $\dot{s}(x) \propto mr(I^2 + v_F e \Delta n^2)/Tn_0e^2$。
• 该方法可直接推广至非抛物能带和高维系统，对于 $d>1$ 需要更高阶矩。
• 该方法适用于其他独立费米子系统，如石墨烯中的无质量狄拉克费米子或恒星中的中微子，只要相互作用通过 $\mathcal{L}(f_0 - f)$ 建模即可。