[论文解读] Steady streaming between two vibrating planes at high Reynolds numbers

Konstantin Ilin, Andrey Morgulis|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2011

Nanofluid Flow and Heat Transfer参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文针对高雷诺数下两块振动平面之间的稳态对流，发展了一套渐近理论，采用Vishik-Lyusternik方法推导出包含Stokes漂移修正的平均化N-S方程。关键成果是针对同向传播行波诱导的单向、平面平行流动，获得了解析解，将经典的蠕动泵理论拓展至高雷诺数区域。

ABSTRACT

We consider incompressible flows between two transversely vibrating solid walls and construct an asymptotic expansion of solutions of the Navier-Stokes equations in the limit when both the amplitude of vibrations and the thickness of the Stokes layer are small and have the same order of magnitude. Our asymptotic expansion is valid up to the flow boundary. In particular, we derive equations and boundary conditions, for the averaged flow. In the leading order, the averaged flow is described by the stationary Navier-Stokes equations with an additional term which contains the leading-order Stokes drift velocity. In a slightly different context (for a flow induced by an oscillating conservative body force), the same equations had been derived earlier by Riley (2001). The general theory is applied to two particular examples of steady streaming induced by transverse vibrations of the walls in the form of standing and travelling plane waves. In particular, in the case of waves travelling in the same direction, the induced flow is plane-parallel and the Lagrangian velocity profile can be computed analytically. This example may be viewed as an extension of the theory of peristaltic pumping to the case of high Reynolds numbers.

研究动机与目标

• 在壁面横向振动振幅小、Stokes层厚度小，且雷诺数满足 $ R_s \sim 1 $ 的极限下，为两块壁面之间的粘性不可压缩流建立系统性的渐近展开。
• 推导在流动边界处依然有效的平均化（稳态对流）方程与边界条件，考虑一阶流动中的非线性相互作用。
• 通过分析行波与驻波诱导的流动，将经典蠕动泵理论拓展至高雷诺数流动。
• 确定能最大化通道内总体体积通量的壁面形变轮廓。
• 识别当前渐近框架的局限性，特别是针对短波长振动和高 $ R_s $ 情况。

提出的方法

• 采用Vishik-Lyusternik方法，以小参数 $ \epsilon $ 构造渐近展开，该参数表示壁面位移振幅与通道高度之比。
• 采用多尺度方法分离快速时间振荡与慢速平均动力学，保留在一阶方程中的非线性项。
• 推导出包含与一阶Stokes漂移速度成正比的附加项的平均化N-S方程，以捕捉净稳态流动。
• 将该方法应用于两种具体情形：驻波（产生环流）与同向传播行波（产生单向流）。
• 在平面行波情形下，对所得渐近方程进行解析求解，获得拉格朗日速度分布的显式表达式。
• 通过壁面形变的傅里叶级数展开，表达一般周期性振动下的平均速度场，并通过选择最优谐波分量来优化通量。

实验结果

研究问题

• RQ1 当稳态对流雷诺数 $ R_s \sim 1 $ 时，两平行壁面横向振动所诱导的稳态对流流动具有何种结构？
• RQ2 渐近解如何解释当Stokes层厚度与壁面位移振幅相当的情况下，振动壁面附近非衰减边界层行为？
• RQ3 由行谐波诱导的平均流动能否获得解析解？其结果速度分布为何？
• RQ4 对于给定振动振幅，何种壁面形变轮廓可使通道内总体体积通量最大化？
• RQ5 对于不同类型的壁面振动（弯曲与收缩/扩张），随着波长增加，流动结构如何变化？

主要发现

• 对于同向传播行波，稳态对流为单向且二维流动，其拉格朗日速度分布对称，中心处最小，壁面附近最大。
• 在短波长极限下，除壁面附近极薄边界层外，速度分布几乎在通道截面上保持恒定，而在边界层内急剧上升。
• 对于长波，通道内速度分布变化减弱，且随着波长增加，收缩/扩张波的最高速度迅速增大，而弯曲波的最高速度则衰减。
• 为最大化通量，最优壁面形变对应单一谐波：对于收缩/扩张波为第一谐波，对于弯曲波则为更高阶谐波（例如 $ m=4 $ 对应 $ k=1 $）。
• 对于反向传播行波，平均流动在短波长下表现为具有“猫眼”涡旋的剪切流，而在长波长下演化为交替涡旋的复杂模式。
• 当水平尺度远小于通道高度时，该理论失效，表明在短波长区域需采用双边界层模型。