[论文解读] Steenrod Pseudocycles, Lifted Cobordisms, and Solomon's Relations for Welschinger's Invariants

Xujia Chen|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 11

一句话总结

本文通过使用史廷罗德伪链和提升的cobordism，将稳定实曲线模空间的同调关系上提至实J-全纯映射的模空间，建立了实辛四fold的Welschinger不变量的两个WDVV型关系。该方法解决了非可定向模空间中的可定向性问题，并以修正的符号确认了Solomon所宣布的递推关系，为在非可定向空间中上提关系提供了拓扑框架。

ABSTRACT

We establish two WDVV-style relations for the disk invariants of real symplectic fourfolds by implementing Georgieva's suggestion to lift homology relations from the Deligne-Mumford moduli spaces of stable real curves. This is accomplished by lifting judiciously chosen cobordisms realizing these relations. The resulting lifted relations lead to the recursions for Welschinger's invariants announced by Solomon in~2007 and have the same structure as his WDVV-style relations, but differ by signs from the latter. Our topological approach provides a general framework for lifting relations via morphisms between not necessarily orientable spaces.

研究动机与目标

• 解决从实曲线模空间到非可定向实J-全纯映射模空间的同调关系上提过程中存在的概念与技术挑战。
• 实现Georgieva提出的通过cobordism上提关系的建议，以恢复Solomon所宣布的Welschinger不变量的WDVV型递推关系。
• 为通过非必然可定向空间之间的态射上提关系，发展一个通用的拓扑框架，特别是在实Gromov-Witten理论的背景下。
• 通过bordism和交集理论建立符号修正的递推关系，调和Welschinger的曲线计数与Solomon的映射计数。

提出的方法

• 通过精心选择的边界链$\Upsilon$，将$\mathbb{R}\overline{\mathcal{M}}_{0,1,2}$和$\mathbb{R}\overline{\mathcal{M}}_{0,0,3}$的零维与一维同调关系上提至带边的模空间$\widehat{\mathfrak{M}}_{k,l;l^*}(B;J)$。
• 使用史廷罗德伪链将圆盘计数重新解释为带符号的标记映射，从而在非可定向设定下实现交集理论。
• 应用相对定向、交集符号和墙穿跃公式等拓扑工具，将上提的关系转化为不变量计数。
• 通过在阻碍遗忘态射$\mathfrak{f}_{1,2}$和$\mathfrak{f}_{0,3}$的相对可定向性的超曲面上切割$\overline{\mathfrak{M}}_{k,l}(B;J)$，构建带边的模空间。
• 利用一个关键的拓扑引理（引理3.5）将墙穿跃效应表达为$\partial\widehat{\mathfrak{M}}_{k,l;l^*}(B;J)$与$\Upsilon$的交集，从而实现精确的校正项。
• 结合线性化$\overline{\partial}$-算子的分解公式与定向数据，以复不变量和实不变量表示映射的带符号计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当实J-全纯映射的模空间不可定向时，如何推导Welschinger不变量的WDVV型关系？
• RQ2 在实辛设定下，Solomon所宣布的WDVV型递推关系的正确符号结构是什么？
• RQ3 能否在保持拓扑一致性的情况下，将稳定实曲线模空间的同调关系上提至实映射的模空间？
• RQ4 如何解决遗忘态射中的相对可定向性障碍，以实现cobordism的一致上提？
• RQ5 史廷罗德伪链和带符号的标记映射在非可定向模空间中构造不变量时起什么作用？

主要发现

• 本文确认了Solomon所宣布的Welschinger不变量的WDVV型关系，表明其与复情形的差异源于非可定向性带来的特定符号修正。
• 建立了两个新的WDVV型递推关系：一个来自$\mathbb{R}\overline{\mathcal{M}}_{0,1,2}$关系，另一个来自$\mathbb{R}\overline{\mathcal{M}}_{0,0,3}$关系，两者均包含墙穿跃校正。
• 通过使用史廷罗德伪链和cobordism的新型上提程序，推导出符号修正的关系，解决了原始证明草图中长期存在的技术空白。
• 该框架为通过非可定向空间之间的态射上提同调关系提供了一般方法，扩展了复Gromov-Witten理论的技术。
• 带符号计数的计算涉及交积$\prod_{i\in L_0^*} h_i \cdot_X B_{\mathbb{C}}$与复不变量$N_B^{\phi;\mathfrak{p}}$，从而得到精确的递推项。
• 最终的递推公式（5.20）通过分解模空间并利用定向数据与交集理论，分别计算$B_{\mathbb{R}} = 0$与$B_{\mathbb{R}} \neq 0$情形的贡献，得到验证。