[论文解读] Stein's method for the half-normal distribution with applications to limit theorems related to the simple symmetric random walk

Christian Döbler|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文为半正态分布发展了Stein方法，并将其应用于推导三个与简单对称随机游走相关的极限定理的显式、最优速率收敛界——$ n^{-1/2} $。通过使用Goldstein和Reinert的最新技术，将半正态分布的Stein算子与离散逼近分布进行比较，作者在Kolmogorov和Wasserstein度量下建立了紧致的误差界，并给出了显式常数。

ABSTRACT

We develop Stein's method for the half-normal distribution and apply it to derive rates of convergence in distributional limit theorems for three statistics of the simple symmetric random walk: the maximum value, the number of returns to the origin and the number of sign changes up to a given time $n$. We obtain explicit error bounds with the optimal rate $n^{-1/2}$ for both the Kolmogorov and the Wasserstein metric. In order to apply Stein's method, we compare the characterizing operator of the limiting half-normal distribution with suitable characterizations of the discrete approximating distributions, exploiting a recent technique by Goldstein and Reinert \cite{GolRei13}.

研究动机与目标

• 为缺乏标准Stein框架表征的半正态分布发展Stein方法。
• 将该方法应用于推导简单对称随机游走中三个关键统计量的定量收敛速率：最大值、返回原点次数和符号变化次数。
• 在Kolmogorov和Wasserstein度量下实现最优的$ n^{-1/2} $收敛速率，并给出显式、可计算的常数。
• 通过利用Goldstein和Reinert（2013）的最新表征技术，将Stein方法的适用范围扩展至收敛于连续极限的离散分布。

提出的方法

• 基于标准正态变量$ Z \sim N(0,1) $，并令$ Y = |Z| $，使用密度方法推导出半正态分布的Stein表征。
• 使用半正态分布的表征算子，并通过Stein方程框架将其与离散逼近分布进行比较。
• 应用Goldstein和Reinert（2013）的最新技术，该技术可实现对极限分布的Stein算子与离散分布生成元之间的比较。
• 推导出半正态分布的Stein方程解的显式界，优于先前文献中的一般界。
• 通过测试函数：Lipschitz函数和指示函数$ 1_{(-\infty,z]} $，分别在Wasserstein和Kolmogorov度量下进行分析。
• 利用离散统计量（如返回次数、最大值）的概率质量函数的显式公式，在Stein框架下导出可处理的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否有效将Stein方法适配于缺乏标准Stein算子的半正态分布？
• RQ2 简单对称随机游走中最大值、返回原点次数和符号变化次数收敛于半正态分布的显式收敛速率为何？
• RQ3 是否能在Kolmogorov和Wasserstein度量下实现并显式量化最优的$ n^{-1/2} $收敛速率？
• RQ4 如何利用Goldstein和Reinert（2013）的技术，在Stein方法中比较离散分布与连续极限分布？

主要发现

• 本文建立了归一化最大值$ M_n / \sqrt{n} $在Wasserstein度量下的$ n^{-1/2} $收敛速率，误差界为$ \left(3 + \frac{2}{\pi}\right)/\sqrt{n} $。
• 对于归一化返回原点次数$ K_n / \sqrt{n} $，Wasserstein距离的上界为$ \left(\frac{2}{\pi} + 2\right)/\sqrt{n} + \sqrt{2/\pi}/n $。
• 对于Kolmogorov距离，$ M_n / \sqrt{n} $的上界为$ \left(4\sqrt{2/\pi} + \frac{1}{2}\right)/\sqrt{n} + \frac{2}{n} $，实现了最优的$ n^{-1/2} $速率。
• 符号变化次数$ C_n / \sqrt{n} $的界也以相同的$ n^{-1/2} $速率导出，尽管所提供文本中该表达式的精确形式被截断。
• 本文在误差界中提供了显式常数，优于以往仅给出速率而无常数结果的研究。
• 半正态分布的Stein方程解满足$ \|f_z\| \leq \frac{1}{2} $且$ \|f_z'\| \leq 1 $，这对推导最终误差界至关重要。