[论文解读] Step-by-step solving schemes based on scalar auxiliary variable and invariant energy quadratization approaches for gradient flows

Zhengguang Liu, Xiaoli Li|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2019

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 26被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种基于标量辅助变量（SAV）和不变能量二次化（IEQ）方法的新型分步求解格式——3S-SAV 和 3S-IEQ，用于梯度流问题。这些格式能够对非线性项和常系数线性系统实现完全显式处理，无需对自由能势的有界性做出假设，同时确保无条件能量稳定性，并在效率和精度上优于传统 SAV/IEQ 方法。

ABSTRACT

In this paper, we propose several novel numerical techniques to deal with nonlinear terms in gradient flows. These step-by-step solving schemes, termed 3S-SAV and 3S-IEQ schemes, are based on recently popular scalar auxiliary variable (SAV) and invariant energy quadratization (IEQ) approaches. In these constructed numerical methods, the phase function $ϕ$ and auxiliary variable can be calculated step-by-step. Compared with the traditional SAV/IEQ approaches, there are many advantages for the novel 3S-SAV/3S-IEQ schemes. Firstly, we do not need the restriction of the bounded from below of the nonlinear free energy potential/density function. Secondly, the auxiliary variable combined with nonlinear function can be treated totally explicitly in the 3S-SAV/3S-IEQ approaches. Specially, for solving the discrete scheme based on IEQ approach, the linear system usually involves variable coefficients which change at each time step. However, the discrete scheme based on 3S-IEQ approach leads to linear equation with constant coefficients. Two comparative studies of traditional SAV/IEQ and 3S-SAV/3S-IEQ approaches are considered to show the accuracy and efficiency. Finally, we present various 2D numerical simulations to demonstrate the stability and accuracy.

研究动机与目标

• 开发适用于具有复杂非线性自由能势的梯度流问题的高效且无条件能量稳定的时间积分格式。
• 消除传统 SAV 和 IEQ 方法中对非线性自由能势必须有下界的限制性假设。
• 在时间离散化中实现对辅助变量和非线性项的完全显式处理，从而提高计算效率。
• 在基于 IEQ 的格式中构建常系数线性系统，相较于标准 IEQ 中的变系数系统，简化求解过程。
• 通过广泛的二维数值模拟验证新格式在精度、稳定性和效率方面的表现。

提出的方法

• 提出 3S-SAV 和 3S-IEQ 格式，通过解耦相场变量与辅助变量，实现在每个时间层上分步求解两者。
• 引入一种新格式，使辅助变量与相场变量同步显式计算，避免迭代求解非线性方程。
• 在标量辅助变量（SAV）和不变能量二次化（IEQ）框架基础上进行重构，实现对非线性函数和辅助变量的完全显式处理。
• 推导出离散格式，通过在半离散层面保持能量耗散律，确保无条件能量稳定性。
• 采用谱元法进行空间离散化，时间积分采用 C-N 格式或后向差分公式。
• 在 3S-IEQ 方法中构建常系数线性系统，与标准 IEQ 中的变系数系统形成对比，从而实现更快速的求解策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种分步求解格式，在 SAV/IEQ 方法中完全解耦相场变量与辅助变量，同时保持能量稳定性？
• RQ2 若消除对非线性自由能势有下界的要求，是否能提升 SAV/IEQ 方法在更广泛梯度流问题中的适用性？
• RQ3 能否在时间积分中对辅助变量和非线性项实现完全显式处理，从而降低计算成本？
• RQ4 3S-IEQ 格式是否能生成常系数线性系统，从而相比标准 IEQ 的变系数系统简化求解过程？
• RQ5 在相场模型的二维模拟中，3S-SAV 和 3S-IEQ 格式在精度和效率上相较于传统 SAV 和 IEQ 方法表现如何？

主要发现

• 3S-SAV 和 3S-IEQ 格式实现了无条件能量稳定性，所有测试时间步长下能量泛函均呈现单调衰减。
• 该格式消除了对非线性自由能势有下界的假设，显著拓宽了适用模型的范围。
• 辅助变量与非线性项实现完全显式处理，与传统 SAV/IEQ 方法相比，计算成本显著降低。
• 3S-IEQ 方法生成常系数线性系统，相比标准 IEQ 的变系数系统，求解过程更快速高效。
• 对 Allen-Cahn、Cahn-Hilliard 及相场晶体模型的数值模拟显示，3S-SAV 与传统 SAV 格式在相场演化和能量衰减方面完全一致，无可见差异。
• 3S-SAV 和 3S-IEQ 格式在大时间步长（包括 Δt = 10）下仍保持高精度与稳定性，验证了其鲁棒性。