[论文解读] Stochastic averaging lemmas for kinetic equations

Lions, Pierre-Louis, Benoı̂t Perthame+1 more|Apr 2, 2012

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文建立了带有斯特拉托诺维奇噪声的动能方程的随机平均引理，表明在 $L^2$ 范数下，速度平均的时间和空间正则性因随机时间尺度而改变：时间衰减变慢（例如，与确定性情况下 $ olambda^{-1/2}$ 相比，随机情况下为 $ olambda^{-3/2}$），且由于傅里叶乘子中的抛物型与双曲型标度不同，正则性增益也不同。结果通过随机特征线和傅里叶分析推导得出，并应用于具有随机通量的标量守恒律。

ABSTRACT

We develop a class of averaging lemmas for stochastic kinetic equations. The velocity is multiplied by a white noise which produces a remarkable change in time scale. Compared to the deterministic case and as far as we work in $L^2$, the nature of regularity on averages is not changed in this stochastic kinetic equation and stays in the range of fractional Sobolev spaces at the price of an additional expectation. However all the exponents are changed; either time decay rates are slower (when the right hand side belongs to $L^2$), or regularity is better when the right hand side contains derivatives. These changes originate from a different space/time scaling in the deterministic and stochastic cases. Our motivation comes from scalar conservation laws with stochastic fluxes where the structure under consideration arises naturally through the kinetic formulation of scalar conservation laws.

研究动机与目标

• 开发由斯特拉托诺维奇噪声驱动的随机动能方程的平均引理，特别是针对具有随机通量的标量守恒律。
• 刻画随机时间标度（布朗运动）如何改变速度平均的正则性和衰减特性，与确定性情况相比。
• 在分数阶索伯列夫空间中建立速度平均 $\rho_\psi$ 的 $L^2$ 估计，量化由于随机性导致的指数变化。
• 阐明斯特拉托诺维奇微积分和随机特征线在噪声下保持动能方程结构方面的作用。

提出的方法

• 使用随机特征线通过 $f(x+B(t)\circ\xi,\xi,t)$ 表示解，该表示在斯特拉托诺维奇约定下成立。
• 在空间和时间上使用傅里叶分析来估计速度平均 $\rho_\psi = \int \psi(\xi)f(x,\xi,t)d\xi$ 的 $L^2$ 范数。
• 应用 Calderón-Zygmund 理论来控制由随机时间演化引起的奇异积分。
• 引入时间阻尼 $e^{-\lambda t}$ 以隔离时间衰减行为，并比较确定性与随机标度。
• 比较傅里叶乘子：确定性情况下为双曲型 $1/(2\lambda - i(\xi_1-\xi_2)\cdot k)$，随机情况下为抛物型 $1/(2\lambda + |(\xi_1-\xi_2)\cdot k|^2)$。
• 使用 $L^2$ 能量估计和对偶性推导 $\mathbb{E}\|\rho_\psi\|_{L^2(\mathbb{R}^+; \dot{H}^s)}^2$ 的界，适用于多种正则性增益。

实验结果

研究问题

• RQ1 在动能方程中加入斯特拉托诺维奇噪声后，速度平均在 $L^2$ 范数下的正则性如何改变？
• RQ2 与确定性情况相比，随机情况下速度平均的时间衰减率是多少？
• RQ3 由于随机时间标度，分数阶索伯列夫正则性估计中的指数如何变化？
• RQ4 平均引理框架能否推广到具有 $L^2$ 右端项和随机通量的随机动能方程？
• RQ5 斯特拉托诺维奇约定在噪声下保持动能方程结构方面起什么作用？

主要发现

• 当 $f^0 = 0$ 时，随机平均引理给出 $\mathbb{E}\|e^{-\lambda t}\rho_\psi\|_{L^2(\mathbb{R}^+; \dot{H}^{1/2})}^2 \leq C(\text{supp}\,\psi) \lambda^{-3/2} \|e^{-\lambda t}\psi g\|_{L^2}^2$，表明其时间衰减慢于确定性情况。
• 当 $g = \text{div}\,h$ 时，引理给出 $\mathbb{E}\|\rho_\psi\|_{L^2(\mathbb{R}^+; \dot{H}^{1/3})}^2 \leq C(\psi) \left(\|h\|_{\dot{H}^{-2/3}_{x} \cap L^2}^2 + \|\psi f\|_{L^2}^2\right)$，表明正则性优于确定性情况下的 $\dot{H}^{1/2}$。
• 随机傅里叶乘子 $1/(2\lambda + |(\xi_1 - \xi_2)\cdot k|^2)$ 导致抛物型标度，引起比确定性双曲型乘子 $1/(2\lambda - i(\xi_1 - \xi_2)\cdot k)$ 更慢的衰减和不同的正则性指数。
• 在时间正则性情形下，随机引理在 $H^{1/4}(\mathbb{R}^+)$ 中实现 $1/4$ 个导数的增益，而确定性情况下可实现 $1/2$ 个导数的增益，反映出确定性设定中更强的抵消效应。
• 结果在 $L^2$ 假设下具有鲁棒性，并在全局时间范围内成立，其界依赖于 $\psi$ 的紧支集以及初始数据或源项。
• 该方法证实，随机性从根本上改变了时间尺度结构，使傅里叶域中的正则性性质从双曲型转变为抛物型。