[论文解读] Stochastic differential equations with Sobolev diffusion and singular drift

Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文建立了具有Sobolev型扩散系数和奇异漂移项的随机微分方程（SDEs）解的存在性、唯一性与正则性。证明了解的弱可微性与Malliavin可微性，推导出Bismut-Elworthy-Li型公式，并将这些结果应用于证明在$$\mathbb{W}^{1}_{p}$$($$\mathbb{R}^{d};\mathbb{R}^{d}$$)空间中，当$$p>d$$时不可压缩Navier-Stokes方程的局部适定性。主要贡献在于在漂移与扩散系数的可积性条件最小化的前提下，扩展了可微性与稳定性结果。

ABSTRACT

In this paper we study properties of solutions to stochastic differential equations with Sobolev diffusion coefficients and singular drifts. The properties we study include stability with respect to the coefficients, weak differentiability with respect to starting points, and the Malliavin differentiability with respect to sample paths. We also establish Bismut-Elworthy-Li's formula for the solutions. As an application, we use the stochastic Lagrangian representation of incompressible Navier-Stokes equations given by Constantin-Iyer \cite{Co-Iy} to prove the local well-posedness of NSEs in $\mR^d$ with initial values in the first order Sobolev space $\mW^1_p(\mR^d;\mR^d)$ provided $p>d$.

研究动机与目标

• 在最小可积性条件下，建立具有Sobolev型扩散和奇异漂移的SDE的强解的存在性与唯一性。
• 研究解关于初值的弱可微性以及关于样本路径的Malliavin可微性。
• 推导解期望的Bismut-Elworthy-Li型导数公式。
• 将SDE的正则性结果应用于证明在$$\mathbb{W}^{1}_p(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d)$$空间中，当$$p>d$$时不可压缩Navier-Stokes方程的局部适定性。
• 在漂移与扩散系数扰动下，扩展SDE的稳定性和正则性结果。

提出的方法

• 利用Zvonkin变换和Krylov估计处理满足$$\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$$的$$L^q_tL^p_x$$类奇异漂移。
• 应用Girsanov变换与PDE理论，在扩散与漂移满足Sobolev型条件下证明强解的存在性与唯一性。
• 采用Malliavin微积分技术，建立解映射关于样本路径的Malliavin可微性。
• 通过解流的联合连续性与可微性性质，推导出Bismut-Elworthy-Li公式。
• 在由解流定义的非线性算子$$\mathbb{T}$$上使用不动点论证，证明Navier-Stokes方程的局部适定性。
• 应用最大$$L^p$$-正则性估计与极大函数有界性，控制解的雅可比行列式及其导数的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种漂移$$b$$与扩散$$\sigma$$条件下，具有Sobolev型系数的SDE能存在唯一的强解？
• RQ2 解流$$X_{t,s}(x)$$关于初值在弱可微性方面如何表现？
• RQ3 解映射$$X_{t,s}(x)$$关于布朗路径是否Malliavin可微？其Malliavin导数的可积性如何？
• RQ4 在奇异漂移与扩散条件下，能否为解期望的梯度推导出Bismut-Elworthy-Li型公式？
• RQ5 SDE的正则性与稳定性结果能否应用于证明在$$\mathbb{W}^{1}_p(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d)$$空间中，当$$p>d$$时不可压缩Navier-Stokes方程的局部适定性？

主要发现

• 当$$b \in L^q([T,S]; L^p(\mathbb{R}^d))$$且满足$$\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$$，$$\sigma$$为一致椭圆且H\
• 解流$$X_{t,s}(x)$$关于$$x$$几乎处处$$\omega$$弱可微，且雅可比行列式$$\nabla X_{t,s}(x)$$满足一致矩界：$$\mathrm{ess.\, sup}_{x\in\mathbb{R}^d} \mathbb{E}\left(\sup_{s\in[t,S]}|\nabla X_{t,s}(x)|^{p'}\right) \leq C$$，对任意$$p' \geq 1$$成立。
• 解是Malliavin可微的，且Malliavin导数满足$$\sup_{x\in\mathbb{R}^d} \mathbb{E}\left(\sup_{s\in[t,S]}\|DX_{t,s}(x)\|_\mathbb{H}^{p'}\right) < \infty$$，对任意$$p' \geq 1$$成立。
• 推导出Bismut-Elworthy-Li公式：$$\nabla \mathbb{E} f(X_{t,s}(x)) = \frac{1}{s-t} \mathbb{E}\left(f(X_{t,s}(x)) \int_t^s \sigma^{-1}_r(X_{t,r}(x)) \nabla X_{t,r}(x) \, dW_r\right)$$。
• 将SDE结果应用于证明在$$\mathbb{R}^d$$中，初始数据属于$$\mathbb{W}^{1}_p(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d)$$且$$p>d$$时，不可压缩Navier-Stokes方程的局部适定性，方法为随机Lagrangian表示。
• 建立了解映射在漂移扰动下的稳定性：在小时间区间$$[T_1,0]$$上，有$$\|\mathbb{T}(b) - \mathbb{T}(b')\|_{L^p} \leq \frac{1}{2}\|b - b'\|_{\mathbb{L}^\infty_p(T_1,0)}$$。