[论文解读] Stochastic epidemics in a homogeneous community

Tom Britton, Étienne Pardoux|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2018

COVID-19 epidemiological studies参考文献 4被引用 10

一句话总结

本文针对同质人群构建了随机流行病模型，聚焦于具有马氏与非马氏动力学的SEIR框架。通过分支过程、扩散近似和大偏差理论，推导了最终疫情规模、消亡时间及临界群体规模的关键结果，表明传染期的变异性显著增加了最终规模的方差，而疫苗接种则降低了疾病持续存在的临界群体规模。

ABSTRACT

These notes describe stochastic epidemics in a homogenous community. Our main concern is stochastic compartmental models (i.e. models where each individual belongs to a compartment, which stands for its status regarding the epidemic under study : S for susceptible, E for exposed, I for infectious, R for recovered) for the spread of an infectious disease. In the present notes we restrict ourselves to homogeneously mixed communities. We present our general model and study the early stage of the epidemic in chapter 1. Chapter 2 studies the particular case of Markov models, especially in the asymptotic of a large population, which leads to a law of large numbers and a central limit theorem. Chapter 3 considers the case of a closed population, and describes the final size of the epidemic (i.e. the total number of individuals who ever get infected). Chapter 4 considers models with a constant influx of susceptibles (either by birth, immigration of loss of immunity of recovered individuals), and exploits the CLT and Large Deviations to study how long it takes for the stochastic disturbances to stop an endemic situation which is stable for the deterministic epidemic model. The document ends with an Appendix which presents several mathematical notions which are used in these notes, as well as solutions to many of the exercises which are proposed in the various chapters.

研究动机与目标

• 使用具有随机传染期和潜伏期的SEIR模型，分析封闭同质人群中的随机流行病动力学。
• 通过分支过程近似推导最终疫情规模的分布，尤其关注小规模爆发的情形。
• 研究疫苗接种对降低基本再生数及疾病持续存在的临界群体规模的影响。
• 利用大偏差理论与扩散近似，研究开放群体中的长期行为，以估计消亡时间。
• 量化传染期变异性（如指数分布与固定时间）对最终疫情规模方差及临界群体规模的影响。

提出的方法

• 采用泊松分布传染接触的随机SEIR模型，以及独立同分布的潜伏期与传染期。
• 应用分支过程近似分析早期流行病传播，并计算大规模爆发的概率。
• 采用Sellke构造法，推导小规模群体中精确的有限总体最终规模分布。
• 对大规模群体中的最终规模应用大数定律（LLN）与中心极限定理（CLT），推导极限均值与方差。
• 通过随机微分方程（SDE）的扩散近似，建模围绕确定性流行病曲线的高斯波动。
• 应用大偏差理论与速率函数，估计具有人口动态的开放群体模型中的消亡时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在封闭群体中，最终疫情规模的分布是什么，尤其是在小规模爆发的情况下？
• RQ2 传染期的变异性（如指数分布与固定时间）如何影响最终疫情规模的方差？
• RQ3 疾病持续存在的临界群体规模是多少，其受疫苗接种与传染期分布的影响如何？
• RQ4 在开放模型中，地方性疾病的消亡时间如何随群体规模与传播参数变化？
• RQ5 疫苗接种对有效再生数及疾病持续存在的临界群体规模有何影响？

主要发现

• 当 $ R_0 = 1.5 $ 时，极限均值最终规模为 583 人，Reed–Frost 模型（固定传染期）下的标准差为 41.7，Markovian SIR 模型（指数传染期）下的标准差为 58.0。
• 当传染期从固定变为指数分布时，最终规模的方差几乎增加 50%，这是由于变异系数更高所致。
• 当传染期加倍（保持 $ R_0 $ 不变）时，临界群体规模 $ N_c $ 降低为原来的四分之一；而将 $ R_0 $ 加倍仅使 $ N_c $ 降低约两倍。
• 疫苗接种使有效再生数降低至 $ R_v = R_0(1 - v) $，未接种个体的临界群体规模满足 $ N_c^{(unvacc)} \to \frac{9}{\rho^2 (1 - 1/R_v)^2 R_v} $，其中 $ \rho $ 为相对传染期。
• 包括接种个体在内的整个群体的临界群体规模随疫苗接种覆盖率 $ v $ 迅速增长，这解释了为何像麻疹这样的疾病在高疫苗接种率环境中不再地方性流行。
• 明确推导出围绕确定性流行病曲线的高斯波动的平稳分布的协方差矩阵，表明其依赖于 $ R_0 $ 与 $ \rho $，在 $ \varepsilon < 4/R_0 $ 条件下，漂移矩阵的特征值实部为负。