[论文解读] Stochastic programs without duality gaps for objectives without a lower bound

Ari-Pekka Perkkiö|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2014

Risk and Portfolio Optimization参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文在不需对目标函数施加下界条件的情况下，通过局部鞅技巧与劣函数分析，建立了随机优化问题中解的存在性及对偶间隙的缺失。关键贡献在于放宽了先前对偶间隙结果中的有界性假设，从而使得在金融优化中实现无界效用最大化成为可能。

ABSTRACT

This paper studies parameterized stochastic optimization problems in finite discrete time that arise in many applications in operations research and mathematical finance. We prove the existence of solutions and the absence of a duality gap under conditions that relax the boundedness assumption made by Pennanen and Perkkiö in [Stochastic programs without duality gaps, Math. Program., 136(1):91--110,2012]. We apply the result to a utility maximization problem with an unbounded utility.

研究动机与目标

• 将随机优化中对偶间隙结果的适用范围扩展至无需对目标函数施加下界条件的情形。
• 在较弱的可积性与凸性条件下，建立最优值函数的闭性与正规性。
• 恢复并推广液态金融市场上无界效用函数下的效用最大化存在性结果。
• 提供一个适用于非流动性市场且具有非线性交易成本的框架，扩展了先前的研究成果。

提出的方法

• 采用Rockafellar的共轭对偶框架分析值函数及其劣函数。
• 应用局部鞅技巧处理无界积分核，特别是在效用最大化的情境下。
• 在测度收敛意义下，基于可测正规积分核结构，建立值函数在 $L^0$ 中的闭性。
• 以积分核 $f^\infty$ 的劣函数形式，推导最优值函数劣函数的表达式。
• 对劣锥 $\mathcal{L} = \{x \in \mathcal{N} \mid f^\infty(x,0) \leq 0\}$ 施加条件，以确保闭性。
• 通过对角化方法与Fatou引理，构造一列对偶变量，使其在价格与初始财富有界假设下收敛至一个鞅测度密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设目标函数有下界的情况下，能否消除随机规划中的对偶间隙？
• RQ2 在不从下方有界的前提下，最优值函数在 $L^0$ 中何时具有闭性与正规性？
• RQ3 如何用积分核的劣函数表征值函数的劣函数？
• RQ4 这些结果能否推广至液态市场中具有无界效用函数的效用最大化问题？
• RQ5 在具有非线性交易成本的非流动性市场模型中，何种条件可确保解的存在性？

主要发现

• 在存在可积下界且劣锥 $\mathcal{L}$ 为线性时，最优值函数 $\varphi(u) = \inf_{x \in \mathcal{N}} E f(x,u)$ 在 $L^0$ 中为闭且正规的。
• 对偶间隙不存在，且对每个 $u \in L^0$，下确界均可被取到，即使 $f$ 不从下方有界。
• 值函数的劣函数满足 $\varphi^\infty(u) = \inf_{x \in \mathcal{N}} E f^\infty(x,u)$，提供了新的表征方式。
• 在价格过程与初始财富属于 $L^\infty$ 的有界条件下，本文在不需渐近弹性条件的前提下，恢复了Rásonyi与Stettner（2015）的存在性结果。
• 构造了一列收敛至正鞅测度密度的对偶变量，确保了对偶解的存在性。
• 该框架可推广至具有非线性成本的非流动性市场，未来工作将探讨进一步推广。