[论文解读] Stochastic Symplectic and Multi-Symplectic Methods for Nonlinear Schrödinger Equation with White Noise Dispersion

Jianbo Cui, Jialin Hong+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2016

Numerical methods for differential equations参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对具有白噪声色散的非线性薛定谔方程的随机辛和多辛积分格式，能够保持电荷守恒与辛结构。该方法在概率意义下达到时间阶为一的收敛率，并在数值实验中展现出优越的长时间稳定性与守恒性质，优于非辛格式如欧拉-马鲁亚米方法。

ABSTRACT

We indicate that the nonlinear Schrödinger equation with white noise dispersion possesses stochastic symplectic and multi-symplectic structures. Based on these structures, we propose the stochastic symplectic and multi-symplectic methods, which preserve the continuous and discrete charge conservation laws, respectively. Moreover, we show that the proposed methods are convergent with temporal order one in probability. Numerical experiments are presented to verify our theoretical results.

研究动机与目标

• 识别并利用具有白噪声色散的非线性薛定谔方程中的随机辛与多辛结构。
• 开发能够保持随机偏微分方程内在几何与守恒性质的数值格式。
• 建立所提格式在概率意义下的收敛速率，特别是时间阶为一的收敛率。
• 通过数值实验验证长时间稳定性与守恒行为。

提出的方法

• 利用随机微分形式与变分原理，推导具有白噪声色散的NLS方程的随机辛与多辛结构。
• 基于随机辛结构，提出两种时间半隐式格式——中点格式与李分裂格式，确保电荷守恒与辛性。
• 通过在中点格式上采用中心差分进行空间半离散化，构造全离散格式，得到同时保持离散电荷守恒与随机多辛结构的格式。
• 利用随机半群的酉性与衰减估计，推导截断问题的均方一阶收敛率，从而推出原问题在概率意义下的一阶收敛率。
• 应用截断论证，将确定性情形下的空间离散化误差估计推广至随机情形。
• 通过参考解进行数值验证，并与非辛的欧拉-马鲁亚米方法比较电荷守恒性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有白噪声色散的非线性薛定谔方程是否具有随机辛与多辛结构？
• RQ2 能否构造在随机情形下同时保持电荷守恒与辛性的数值格式？
• RQ3 此类辛格式在概率意义下的收敛速率是多少？
• RQ4 与非辛方法相比，辛格式在长时间模拟中的表现如何？
• RQ5 所提格式是否能在长时间区间内保持色散与非线性之间的平衡？

主要发现

• 通过随机微分形式严格推导出，具有白噪声色散的非线性薛定谔方程同时具有随机辛与多辛结构。
• 所提出的中点格式与李分裂格式均保持离散电荷守恒律与随机辛结构，确保了数值积分的几何保真性。
• 通过截断随机半群分析证明，对于初始数据属于 $H^{s+10}$（中点格式）与 $H^{s+4}$（李分裂格式），$s > \frac{1}{2}$ 的情形，格式在概率意义下达到时间阶为一的收敛率。
• 全离散化的多辛格式同时保持离散随机多辛守恒律与电荷守恒律。
• 数值实验验证了理论收敛率约为一（在概率意义下），两种格式的收敛曲线斜率均接近于一。
• 辛格式展现出优越的长时间行为，能精确保持电荷守恒，而与之对比的非辛欧拉-马鲁亚米格式则表现出电荷守恒误差的持续增长。