[论文解读] Stochastic Vehicle Routing with Recourse

Inge Li Goertz, Viswanath Nagarajan+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2012

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对随机车辆路径问题带补救措施的 $O(\log^2 n \cdot \log(n\lambda))$-近似算法，其中使用需求分布规划一条固定路线，而在需求实现后计算一条更昂贵的补救路线。该方法将问题转化为背包秩函数探险问题，并通过基于采样的线性规划松弛与随机舍入，实现了该近似保证。

ABSTRACT

We study the classic Vehicle Routing Problem in the setting of stochastic optimization with recourse. StochVRP is a two-stage optimization problem, where demand is satisfied using two routes: fixed and recourse. The fixed route is computed using only a demand distribution. Then after observing the demand instantiations, a recourse route is computed -- but costs here become more expensive by a factor lambda. We present an O(log^2 n log(n lambda))-approximation algorithm for this stochastic routing problem, under arbitrary distributions. The main idea in this result is relating StochVRP to a special case of submodular orienteering, called knapsack rank-function orienteering. We also give a better approximation ratio for knapsack rank-function orienteering than what follows from prior work. Finally, we provide a Unique Games Conjecture based omega(1) hardness of approximation for StochVRP, even on star-like metrics on which our algorithm achieves a logarithmic approximation.

研究动机与目标

• 解决需求为随机变量且补救成本因数 $\lambda$ 而膨胀的两阶段随机车辆路径问题。
• 设计一种固定路线策略，以最小化固定路线成本与预期膨胀补救成本之和。
• 在任意需求分布下，提供具有可证明性能保证的多项式时间近似算法。
• 通过将问题与背包秩函数探险问题关联，建立紧致的近似比。
• 基于唯一游戏猜想证明 $\omega(1)$ 的近似困难性，表明该算法的近似比近乎最优。

提出的方法

• 将问题约化为子模探险问题的一个特殊情形，即背包秩函数探险问题。
• 采用基于采样的估计技术，近似估计在具有随机存在概率的顶点子集上最小生成树（MST）的期望成本。
• 建立整数规划模型，变量用于将顶点划分为由固定路线服务的集合（$D_1$）与需依赖补救路线服务的集合（$D_2$）。
• 该IP使用 $m = \text{poly}(n, \lambda)$ 个需求实现的样本，通过经验MST与流值估计期望补救成本。
• 求解IP的LP松弛，并采用随机舍入规则设定 $D_1 = \{v : x_v > 1/2\}$ 以定义固定路线。
• 将固定路线构建为 $O(\log(n\lambda)/\log\!\log(n\lambda))$ 份在 $D_1$ 上的近似VRP解的副本，剩余需求的补救路线则通过贪心方式计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意需求分布下，随机VRP带补救措施的最佳可能近似比是多少？
• RQ2 该问题能否被有效约化为一个已知组合优化问题，且具有已知的近似保证？
• RQ3 如何足够准确地估计期望补救成本，以设计出多项式时间算法？
• RQ4 所提出的近似比是否紧致，或可证明更强的不可近似性界？
• RQ5 唯一游戏猜想是否意味着随机VRP带补救措施存在常数因子不可近似性？

主要发现

• 本文在任意需求分布下，实现了对随机VRP带补救措施的 $O(\log^2 n \cdot \log(n\lambda))$-近似。
• 该算法的性能通过将问题约化为背包秩函数探险问题并改进该子问题的近似比而获得。
• 通过 $\text{poly}(n, \lambda)$ 个样本估计期望补救成本，确保在常数加法误差范围内集中。
• 基于采样的LP松弛估计方法，可高概率地近似真实目标函数，误差在常数因子内。
• 建立了基于唯一游戏猜想的 $\omega(1)$ 近似困难性结果，表明除非该猜想不成立，否则不存在常数因子近似算法。
• 该算法在星型度量下实现了对数近似比，与已知的不可近似性下界相比，仅相差对数因子。