[论文解读] Stopping games in continuous time

Rida Laraki, Eilon Solan|ArXiv.org|Jun 19, 2003

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 5

一句话总结

该论文在最小假设条件下，证明了连续时间双人零和停止博弈中随机停止时间下价值的存在性：收益过程仅为右连续且适应可测。论文证明，双方玩家均存在$\varepsilon$-最优策略，且这些策略是纯停止时间的小扰动，显著推广了以往需依赖严格条件（如条件C或半鞅性质）的研究结果。

ABSTRACT

We study two-player zero-sum stopping games in continuous time and infinite horizon. We prove that the value in randomized stopping times exists as soon as the payoff processes are right-continuous. In particular, as opposed to existing literature, we do not assume any conditions on the relations between the payoff processes. We also show that both players have simple epsilon- optimal randomized stopping times; namely, randomized stopping times which are small perturbations of non-randomized stopping times.

研究动机与目标

• 建立连续时间双人零和停止博弈中随机停止时间下价值存在的理论基础。
• 消除以往文献中对条件C或半鞅性质等限制性假设的依赖。
• 证明$\varepsilon$-最优策略存在，且可任意接近于纯停止时间。
• 将模型扩展至包含累积收益与最终收益的情形，并证明其与标准停止博弈形式等价。
• 在类似Dynkin（1969）的构造性思想下，即使不满足条件C，也提供$\varepsilon$-最优策略。

提出的方法

• 采用满足通常条件的过滤概率空间的概率框架。
• 通过三个适应过程$a_t$、$b_t$和$c_t$定义停止博弈，分别表示玩家1、玩家2的收益以及同时停止的收益。
• 应用扰动论证，构造出为纯停止时间小偏移的$\varepsilon$-最优随机停止时间。
• 通过条件数学期望或积分过程调整收益过程，将含最终或累积收益的问题转化为标准停止博弈。
• 运用可测选择定理与右连续性，确保在最小正则性条件下最优策略的存在性。
• 利用$\varepsilon$-均衡与随机停止时间的概念，证明价值存在性，而无需路径层面的额外正则性要求，仅需右连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当收益过程仅为右连续且适应可测时，连续时间停止博弈中随机停止时间下的价值是否存在？
• RQ2 即使不满足条件C，能否构造出可任意接近于纯停止时间的$\varepsilon$-最优策略？
• RQ3 如何在不改变价值存在性的前提下，将最终收益或累积收益纳入停止博弈框架？
• RQ4 在何种条件下，价值存在于纯策略中而非随机策略中？
• RQ5 这些结果能否推广至一般适应可测过程，而无需假设半鞅或有界变差性质？

主要发现

• 对于任意连续时间停止博弈，若$a_t$与$b_t$右连续，$c_t$适应可测，则随机停止时间下价值存在。
• 双方玩家均存在$\varepsilon$-最优策略，且为非随机停止时间的小扰动，即在足够小的区间$[\mu, \mu + \delta]$内以概率1停止，其中$\delta > 0$充分小。
• 若对所有$t \in [0, \tau]$有$c_t \in \mathrm{co}\{a_t, b_t\}$，则价值存在于纯策略中，$\varepsilon$-最优停止时间分别为：玩家1为$\inf\{t \geq 0 : V_t^* \leq a_t^* + \varepsilon\}$，玩家2为$\inf\{t \geq 0 : V_t^* \geq b_t^* - \varepsilon\}$。
• 若$c_0 \in \mathrm{co}\{a_0, b_0\}$且所有过程连续，则博弈在纯策略下存在价值。
• 通过条件数学期望或积分过程调整收益过程，可将最终收益$\chi$或累积收益$x_t$的引入，还原为标准停止博弈框架。
• $\varepsilon$-最优策略的构造具有鲁棒性，无需收益过程满足条件C或为半鞅。