[论文解读] Stratifications and foliations for good reductions of Shimura varieties of Hodge type

Chao Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用 11

一句话总结

该论文通过构造 torsors 并将其与截断显示联系起来，将叶层和第 $m$ 层分层理论扩展到 Hodge 型 Shimura 品种在 $p > 2$ 处的良好约化情形。它建立了牛顿层的维数公式：$\dim \mathscr{S}_0^b = \langle \rho, \mu + \nu(b) \rangle - \frac{1}{2}\mathrm{def}(b)$，推广了 PEL 和 Siegel 情形下的结果。

ABSTRACT

Level $m$-stratifications on PEL Shimura varieties are defined and studied by Wedhorn using BT-$m$s with PEL structure, and then by Vasiu for general Hodge type Shimura varieties using Shimura $F$-crystals. The theory of foliations is established by Oort for Siegel modular varieties, and by Mantovan for PEL Shimura varieties. It plays an important role in Hamacher's work to compute the dimension of Newton strata of PEL Shimura varieties. We study level $m$ stratifications on good reductions at $p>2$ of Shimura varieties of Hodge type by constructing certain torsors together with equivariant morphisms, and relating them to truncated displays. We then use the results obtained to extend the theory of foliations to these reductions. As a consequence, combined with results of Nie and Zhu, we get a dimension formula for Newton strata.

研究动机与目标

• 将叶层理论——此前仅在 Siegel 和 PEL Shimura 品种中成立——扩展至 $p > 2$ 处 Hodge 型 Shimura 品种的良好约化情形。
• 利用 torsors 与截断显示研究这些约化上的第 $m$ 层分层，提供一种新的几何与群论框架。
• 在 Nie、Zhu 等人结果的基础上，建立 Hodge 型 Shimura 品种中牛顿层的维数公式。
• 证明中心叶在每个牛顿层内是光滑的、局部闭的且具有统一维数，并且它们在其经典对应物中是开且闭的。

提出的方法

• 利用 Vasiu 的工作中的群概形，构造良好约化 $\mathscr{S}_0$ 及其特殊纤维 $\mathscr{S}_{0,\overline{\kappa}}$ 上的 torsors。
• 定义一个态射 $\zeta_m$，将第 $m$ 层分层与具有附加结构的截断显示联系起来，将其与 Dieudonné 晶体和 $F$-晶体联系起来。
• 使用截断显示理论（来自 [19]）来参数化具有附加结构的 $p$-除子群，从而实现对 BT-$m$ 类型的显式控制。
• 应用关于膨胀和群论设定的结果，证明其与辛嵌入无关且与同构类型相容。
• 构造 Igusa 范畴，并利用有限态射将 $J_{b,m} \times \overline{\mathbb{M}}^{n,d}$ 与牛顿层联系起来，建立近似积结构。
• 利用态射的有限性与准有限性，通过 [48] 和 [21] 中的维数公式计算维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将叶层理论从 PEL 扩展到 $p > 2$ 处的一般 Hodge 型 Shimura 品种？
• RQ2 Hodge 型 Shimura 品种的良好约化中第 $m$ 层分层的几何结构是什么？
• RQ3 中心叶与牛顿层在维数与闭包性质方面有何关系？
• RQ4 能否通过 torsors 与截断显示在 Hodge 型情形下推导出牛顿层的统一维数公式？
• RQ5 Igusa 范畴与 $J_{b,m}$-作用在实现牛顿层的近似积结构中起什么作用？

主要发现

• 每个第 $m$ 层分层 $\mathscr{S}_0^s$ 是 $\mathscr{S}_{0,\overline{\kappa}}$ 的光滑、局部闭子概形，其闭包是第 $m$ 层分层的并集。
• 存在一个准有限的 fppf 覆盖 $T \to \mathscr{S}_0^s$，使得在 $T$ 上具有附加结构的 BT-$m$ 成为常数。
• 每个第 $m$ 层分层在其经典第 $m$ 层分层中是开且闭的；当 $m$ 足够大时，所有第 $m$ 层分层均与中心叶重合。
• 每个中心叶 $\mathscr{S}_0^c$ 是光滑的、局部闭的，其闭包是中心叶的并集；包含关系 $\mathscr{S}_0^c \hookrightarrow \overline{\mathscr{S}_0^c}$ 是仿射浸入。
• 给定牛顿层 $\mathscr{S}_0^b$ 中的所有中心叶具有相同的维数 $\langle 2\rho, \nu_G(b) \rangle$。
• 牛顿层 $\mathscr{S}_0^b$ 的维数由公式 $\dim \mathscr{S}_0^b = \langle \rho, \mu + \nu(b) \rangle - \frac{1}{2}\mathrm{def}(b)$ 给出，该公式源自近似积结构与维数可加性。