[论文解读] Streaming Submodular Maximization under a $k$-Set System Constraint

Ran Haba, Ehsan Kazemi+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 37被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架，可将单调子模最大化问题的流算法转化为在 $k$-集合系统和 $k$-可扩展约束下的非单调子模最大化算法。该方法分别实现了针对这些约束的首个已知 $O(k\log k)$ 和 $O(k^2\log k)$ 近似比，且在社交媒体和位置数据等数据摘要任务中进行了广泛的实证验证。

ABSTRACT

In this paper, we propose a novel framework that converts streaming algorithms for monotone submodular maximization into streaming algorithms for non-monotone submodular maximization. This reduction readily leads to the currently tightest deterministic approximation ratio for submodular maximization subject to a $k$-matchoid constraint. Moreover, we propose the first streaming algorithm for monotone submodular maximization subject to $k$-extendible and $k$-set system constraints. Together with our proposed reduction, we obtain $O(k\log k)$ and $O(k^2\log k)$ approximation ratio for submodular maximization subject to the above constraints, respectively. We extensively evaluate the empirical performance of our algorithm against the existing work in a series of experiments including finding the maximum independent set in randomly generated graphs, maximizing linear functions over social networks, movie recommendation, Yelp location summarization, and Twitter data summarization.

研究动机与目标

• 解决在 $k$-集合系统和 $k$-可扩展系统等复杂约束下，非单调子模最大化缺乏流算法的问题。
• 设计一种通用框架，将现有的单调子模最大化流算法转换为非单调设置下的算法。
• 在流模型下，针对 $k$-匹配oid、$k$-可扩展和 $k$-集合系统约束，实现子模最大化问题的紧密确定性近似比。
• 在内存和单遍扫描约束下，对真实世界的数据摘要任务（包括社交网络、Yelp 和 Twitter）进行所提方法的实证评估。

提出的方法

• 提出一种归约框架，将单调子模最大化问题的流算法转化为非单调子模最大化问题的流算法。
• 将该归约应用于推导出首个在 $k$-集合系统和 $k$-可扩展约束下针对单调子模最大化的流算法。
• 采用单遍扫描、内存高效的算法，通过动态决定是否包含或排除元素，基于边际增益和约束可行性来维护可行解。
• 利用子采样和贪心选择策略，在复杂约束下保持近似保证。
• 将拟阵和背包约束整合到 $k$-可扩展系统框架中，以建模现实世界的数据摘要任务。
• 对多个背包约束（如时间和长度）进行归一化并组合，以建模流数据中多样的摘要目标。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种通用框架，将单调子模最大化问题的流算法转换为在复杂约束下的非单调子模最大化算法？
• RQ2 在 $k$-集合系统和 $k$-可扩展约束下，流子模最大化问题的最佳可实现近似比是多少？
• RQ3 所提出的框架在 $k$-集合系统约束下对线性函数等特殊情况，能否实现优于现有算法的近似比？
• RQ4 所提流算法在真实世界数据摘要任务中的性能，与离线算法和基线流算法相比如何？
• RQ5 该算法在严格内存和单遍扫描约束下，是否仍能保持高实用性？

主要发现

• 所提框架在 $k$-匹配oid 约束下实现了当前最紧的确定性近似比 $O(k\log k)$。
• 首次提出在 $k$-集合系统约束下针对单调子模最大化的流算法，实现了 $O(k^2\log k)$ 的近似比。
• 对于 $k$-可扩展系统约束，算法实现了 $O(k\log k)$ 的近似比，显著优于线性函数情况下先前的 $O(k^2)$ 边界。
• 实证评估表明，尽管在单遍扫描和内存约束下运行，所提算法仍能实现与最先进离线算法相当的实用性。
• 在 Twitter 和 Yelp 摘要任务中，该算法优于基线流方法，甚至在多重约束下匹配或超越部分离线算法的实用性。
• 结果证实，增加更多约束（如 Twitter 数据中的时间和长度）会降低摘要的实用性，符合预期，验证了模型对约束复杂度的敏感性。