[论文解读] Stress and strain in symmetric and asymmetric elasticity

Albert Tarantola|ArXiv.org|Jul 10, 2009

Geophysics and Sensor Technology参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文提出了一种张量化、坐标不变的弹性理论，将变形速度作为基本运动学变量，通过变形张量的矩阵对数定义应变。该理论在 GL⁺(3) 上构建几何框架，其中应变即为变形张量的对数，从而实现对对称（经典）与非对称（Cosserat）弹性的一致处理，其关键结果为：应变仅在与参考状态测地连接的构型中定义。

ABSTRACT

Usual introductions of the concept of motion are not well adapted to a subsequent, strictly tensorial, theory of elasticity. The consideration of arbitrary coordinate systems for the representation of both, the points in the laboratory, and the material points (comoving coordinates), allows to develop a simple, old fashioned theory, where only measurable quantities -like the Cauchy stress- need be introduced. The theory accounts for the possibility of asymmetric stress (Cosserat elastic media), but, contrary to usual developments of the theory, the basic variable is not a micro-rotation, but the more fundamental micro-rotation velocity. The deformation tensor here introduced is the proper tensorial equivalent of the poorly defined deformation "tensors" of the usual theory. It is related to the deformation velocity tensor via the matricant. The strain is the logarithm of the deformation tensor. As the theory accounts for general Cosserat media, the strain is not necessarily symmetric. Hooke's law can be properly introduced in the material coordinates (as the stiffness is a function of the material point). A particularity of the theory is that the components of the stiffness tensor in the material (comoving) coordinates are not time-dependent. The configuration space is identified to the part of the Lie group GL(3)+, that is geodesically connected to the origin of the group.

研究动机与目标

• 开发一种张量化、坐标不变的弹性理论，避免依赖于任意的张量定义。
• 通过将应力与应变建立在可测量量（如柯西应力）的基础上，澄清其物理意义。
• 在不将微旋转作为基本变量引入的前提下，提供非对称弹性（Cosserat 媒质）的一致表述。
• 将应变定义为变形张量的对数，确保其仅在与参考状态测地连接的构型中定义良好。
• 证明材料坐标系中的刚度张量为时间不变量，从而简化本构建模。

提出的方法

• 在实验系与材料系（随体）点中均使用任意坐标系，以确保张量不变性。
• 将变形速度张量定义为 GL⁺(3) 中路径的切向量，即 3×3 可逆实矩阵群。
• 将变形张量引入为变形速度张量的时间有序指数（矩阵指数），即 matricant。
• 将应变定义为变形张量的矩阵对数，确保其仅在与 GL⁺(3) 原点测地连接的构型中为实数。
• 通过指数映射将应变分解为对称部分（形变）与反对称部分（Cosserat 微旋转），实现分解。
• 将刚度张量视为材料坐标的函数，使其在材料参考系中为时间不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在对称与非对称弹性中，以几何一致且物理可测的方式定义应变？
• RQ2 为何将‘应变率’作为应变的时间导数存在问题？正确的基本运动学变量是什么？
• RQ3 矩阵对数在定义应变中的作用是什么？为何其仅在特定构型中为实数？
• RQ4 如何在材料坐标系中一致地定义刚度张量，且避免时间依赖性？
• RQ5 弹性构型空间的几何意义是什么？为何其被限制在 GL⁺(3) 的测地连通分支内？

主要发现

• 应变被严格定义为变形张量的矩阵对数，且仅在 GL⁺(3) 的测地连通分支内的构型中为实数。
• 变形速度张量是基本运动学变量，而非应变率；其通过 matricant（时间有序指数）与变形张量相关联。
• 应变张量的反对称部分对应于 Cosserat 微旋转速度，而非微旋转本身。
• 应变张量的对称部分对应于经典形变，其指数映射可恢复标准变形张量。
• 在材料坐标系中，刚度张量为时间不变量，这简化了材料参考系中的本构建模。
• 位于 GL⁺(3) 的测地连通分支之外的构型无法通过名义应力路径 λs 到达，因此在这些位置应变未定义。