[论文解读] Stretching Stretch

Michael B. Cohen, Gary L. Miller+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文提出了一种广义的拉伸定义，通过使用 0 < p < 1 的 p 次幂来降低高度拉伸边的影响，从而在 O(m log log n) 时间内通过结合自底向上聚类和自顶向下分解的两遍算法，实现更高效的低拉伸嵌入构造。该方法在提升算法效率和可并行化能力的同时，也实现了低拉伸子图的泛化。

ABSTRACT

We give a generalized definition of stretch that simplifies the efficient construction of low-stretch embeddings suitable for graph algorithms. The generalization, based on discounting highly stretched edges by taking their $p$-th power for some $0 < p < 1$, is directly related to performances of existing algorithms. This discounting of high-stretch edges allows us to treat many classes of edges with coarser granularity. It leads to a two-pass approach that combines bottom-up clustering and top-down decompositions to construct these embeddings in $\mathcal{O}(m\log\log{n})$ time. Our algorithm parallelizes readily and can also produce generalizations of low-stretch subgraphs.

研究动机与目标

• 简化图算法中低拉伸嵌入的构造过程。
• 通过重新定义拉伸以降低高度拉伸边的影响，解决现有方法中的低效问题。
• 开发一种结合自底向上聚类和自顶向下分解的两遍算法，以实现高效的嵌入构造。
• 实现低拉伸子图更好的并行化和泛化能力。

提出的方法

• 提出一种广义拉伸定义，对高度拉伸的边应用 p 次幂（0 < p < 1）以降低其影响。
• 采用两遍方法：首先进行自底向上聚类以分组节点，然后进行自顶向下分解以优化嵌入。
• 利用广义拉伸定义对边进行粗粒度处理，从而降低计算开销。
• 在 O(m log log n) 时间内构建嵌入，相较于先前方法在效率上有所提升。
• 利用折扣机制实现低拉伸子图的自然泛化。
• 设计算法以原生支持并行化，提升在大规模图上的可扩展性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何重新定义拉伸，以简化图算法中低拉伸嵌入的构造？
• RQ2 当使用 0 < p < 1 的 p 次幂对高度拉伸边进行折扣时，性能提升体现在哪些方面？
• RQ3 结合聚类与分解的两遍算法能否实现嵌入构造的亚线性时间复杂度？
• RQ4 广义拉伸定义在多大程度上实现了更好的并行化和子图泛化？

主要发现

• 基于 p 次幂折扣的广义拉伸定义能够对高度拉伸边进行粗粒度处理，从而简化嵌入构造过程。
• 所提出的两遍算法可在 O(m log log n) 时间内构建低拉伸嵌入，显著提升了效率。
• 由于其聚类与分解阶段的模块化结构，该算法天然支持并行化。
• 该方法可泛化为生成低拉伸子图，从而扩展了其在嵌入之外的应用范围。
• 折扣机制与实际算法性能的提升存在直接关联。