[论文解读] Strichartz estimates and the nonlinear Schrödinger equation on manifolds with boundary

Matthew D. Blair, Hart F. Smith+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2010

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文在具有边界的黎曼流形上建立了非线性薛定谔方程的尺度不变型 Strichartz 估计，涵盖非 trapping 障碍物外部区域和紧致流形。通过微局部参数解构造，作者证明了三维能量临界与次临界半线性薛定谔方程的适定性，并将其应用于有限能量初值的全局存在性与守恒律问题。

ABSTRACT

We establish Strichartz estimates for the Schrödinger equation on Riemannian manifolds $(Ω,\g)$ with boundary, for both the compact case and the case that $Ω$ is the exterior of a smooth, non-trapping obstacle in Euclidean space. The estimates for exterior domains are scale invariant; the range of Lebesgue exponents $(p,q)$ for which we obtain these estimates is smaller than the range known for Euclidean space, but includes the key $L^4_tL^\infty_x$ estimate, which we use to give a simple proof of well-posedness results for the energy critical Schrödinger equation in 3 dimensions. Our estimates on compact manifolds involve a loss of derivatives with respect to the scale invariant index. We use these to establish well-posedness for finite energy data of certain semilinear Schrödinger equations on general compact manifolds with boundary.

研究动机与目标

• 在包含狄利克雷与诺伊曼条件的紧致黎曼流形边界上，建立薛定谔方程的局部时间 Strichartz 估计。
• 将这些估计推广至欧氏空间中非 trapping 障碍物外部的区域，对 Lebesgue 指标的受限范围实现尺度不变型有界性。
• 将所得的 Strichartz 估计应用于证明能量临界与次临界非线性项下半线性薛定谔方程的适定性。
• 利用新估计证明三维有限能量初值下质量与能量的全局存在性与守恒律。
• 通过适用于一般 non-trapping 障碍物的单一微局部参数解框架，统一处理狄利克雷与诺伊曼边界条件。

提出的方法

• 采用此前用于波动方程的微局部参数解构造方法，推导紧致流形边界上薛定谔方程的局部时间 Strichartz 估计。
• 利用 Burq、Gérard 与 Tzvetkov 的局部光滑性估计，弥合紧致流形估计与外部区域估计之间的差距。
• 通过 Sobolev 嵌入与插值技术，从参数解带来的正则性增益中推导出时空可积性估计。
• 将参数解方法与局部光滑性有界性结合，获得外部区域上带有导数损失的尺度不变型 Strichartz 估计。
• 利用 $L^4_t L^∞_x$ 估计（在 $n=3$ 时导出）通过压缩映射法证明能量临界非线性薛定谔方程的适定性。
• 通过逼近 $H^2$ 初值并利用一致收敛性与 Fatou 引理，证明 $H^1$ 初值下质量与能量的守恒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有边界的紧致黎曼流形上（包括狄利克雷与诺伊曼条件）建立薛定谔方程的尺度不变型 Strichartz 估计？
• RQ2 在 $ℝ^n$ 中非 trapping 障碍物外部区域上，尺度不变型 Strichartz 估计对 Lebesgue 指标 $(p,q)$ 的最优范围是什么？
• RQ3 能否在三维外部区域上证明薛定谔方程的 $L^4_t L^∞_x$ 估计？其对适定性有何影响？
• RQ4 参数解方法在非 trapping 外部区域上能在多大程度上实现导数损失最小化的 Strichartz 估计？
• RQ5 Strichartz 估计如何应用于证明具有边界的流形上能量临界半线性薛定谔方程的全局存在性与守恒律？

主要发现

• 作者在具有边界的紧致流形上建立了薛定谔方程的尺度不变型 Strichartz 估计，但相对于尺度不变指标存在导数损失。
• 对于 $ℝ^n$ 中非 trapping 障碍物外部区域，本文在受限的 $(p,q)$ 范围内获得了尺度不变型 Strichartz 估计，包括三维情形下的关键 $L^4_t L^∞_x$ 估计。
• 三维情形下的 $L^4_t L^∞_x$ 估计被用于对能量临界非线性薛定谔方程的有限能量初值给出适定性的简洁证明。
• 微局部参数解构造使得对一般 non-trapping 障碍物上狄利克雷与诺伊曼边界条件的统一处理成为可能。
• 作者通过逼近 $H^2$ 初值并利用一致收敛性与 Fatou 引理，证明了在能量临界情形下 $H^1$ 初值的质量与能量的全局存在性与守恒性。
• 该方法在外部区域的 Strichartz 估计中导致了 $½/p$ 阶导数损失，虽优于早期结果，但仍未能达到欧氏空间中已知的完整范围。