[论文解读] String cohomology of Calabi-Yau hypersurfaces via Mirror Symmetry

Lev Borisov, Anvar R. Mavlyutov|ArXiv.org|Sep 15, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于对偶反射多面体的镜像对称构造方法，用于研究 toric 变换中的 Calabi-Yau 超曲面的弦上同调空间，该构造以复结构模数 ω 参数化有限族上同调空间。该构造在 orbifold 奇点情况下恢复了 Chen-Ruan orbifold 上同调，并与 Batyrev 的弦论 Hodge 数一致，提供了与镜像对称及顶点代数结构相容的弦上同调的几何实现。

ABSTRACT

We propose a construction of string cohomology spaces for Calabi-Yau hypersurfaces that arise in Batyrev's mirror symmetry construction. The spaces are defined explicitly in terms of the corresponding reflexive polyhedra in a mirror-symmetric manner. We draw connections with other approaches to the string cohomology, in particular with the work of Chen and Ruan.

研究动机与目标

• 为 toric 变换中的 Calabi-Yau 超曲面定义一种几何的、镜像对称的弦上同调空间构造方法。
• 在奇点为 orbifold 的情况下，调和 Batyrev 的弦论 Hodge 数与 Chen-Ruan orbifold 上同调之间的关系。
• 将弦上同调的概念从光滑或 orbifold 情况扩展至具有 Q-Gorenstein 局部 toric 奇点的分层代数簇。
• 在弦上同调空间上提供一个候选的 B 模型 chiral ring，与光滑超曲面的已知结果一致。
• 通过格点 Fock 空间与微分算子，建立弦上同调与顶点代数构造之间的联系。

提出的方法

• 该构造利用反射多面体及其对偶，以复模数 ω 参数化的方式，实现镜像对称的弦上同调空间构造。
• 通过分层闭包的交上同调以及与多面体面 C 相关的分次模 R_k(f,C) 构建上同调分量。
• 上同调空间被实现为多面体面 C 的直和：H = ⨁_C Λ^{dim C*} C*_C ⊗ R_1(f,C) ⊗ R_1(g,C*)，其中 g 为镜像多项式。
• 在包含 Λ^* N_C 和 C[L] 的复形上定义微分 D，其上同调给出弦上同调，且 D 与顶点代数微分 D_{f,g} 相关。
• 通过在面的 Eulerian 偏序集上使用 G-多项式与 H-多项式，计算 Hodge-Deligne 数并验证对偶性质。
• 该方法验证了双分次维数与 Batyrev 的弦论 Hodge 数一致，并在 orbifold 情况下恢复了 Chen-Ruan 上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用反射多面体，以镜像对称方式显式构造 Calabi-Yau 超曲面的弦上同调空间？
• RQ2 当超曲面仅有 orbifold 奇点时，所提出的构造是否能恢复 Chen-Ruan orbifold 上同调？
• RQ3 弦上同调空间能否赋予一个与 crepant 分解及量子上同调相容的自然环结构？
• RQ4 参数 ω 在构造中的作用是什么？它与镜像复化 Kähler 类有何关系？
• RQ5 弦上同调如何与 B 模型的 chiral ring以及 N=2 超对称场论中的顶点代数构造相关联？

主要发现

• 弦上同调空间被构造为以 ω 参数化的有限维族，其双分次维数与 Batyrev 的弦论 Hodge 数一致。
• 对于仅有 orbifold 奇点的 Calabi-Yau 超曲面，当 ω 对应于镜像多项式时，该构造作为特例恢复了 Chen-Ruan orbifold 上同调。
• 上同调空间被实现为包含外幂对偶格点与模 R_k(f,C) 的复形的上同调，微分 D 通过收缩与乘法定义。
• 弦上同调空间的双分次维数通过反射多面体的面偏序集上的 G-多项式与 H-多项式计算，验证了对偶性与 Eulerian 性质。
• 该构造与光滑 Calabi-Yau 超曲面的 B 模型 chiral ring 一致，如 M2 中所定义，并与半正则超曲面的预期维数匹配。
• 该方法暗示了弦上同调空间上存在一个自然的环结构，可能作为 Chen-Ruan orbifold 上同调环的检验工具。