[论文解读] String Theory and Quantum Spin Networks

Aleksandar Miković|ArXiv.org|Jul 15, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于量子自旋网络和拓扑场论的弯曲时空中的弦理论形式化，其中弦散射振幅通过来自二维BF理论和量子群的自旋网络不变量来定义。关键结果是，当时空具有群度量时，这些振幅是良定义且拓扑不变的，显式计算表明其与SU(2)背景下的拓扑弦理论振幅一致。

ABSTRACT

We propose an approach to formulating string theory in a curved spacetime, which is based on the connection between the states of the WZW model for the isometry group of a background spacetime metric and the representations of the corresponding quantum group. In this approach the string states scattering amplitudes are defined by certain evaluations of the theta spin networks for the associated quantum group. We examine the evaluations given by the spin network invariants defined by the spin foam state sum model associated to the two-dimensional BF theory for the background isometry group. We show that the corresponding string amplitudes are well defined if the spacetime manifold is compact and admits a group metric. We compute the simplest scattering amplitudes in the case of the SU(2) background isometry group, and we provide arguments that these are the amplitudes of a topological string theory.

研究动机与目标

• 在平坦或非紧致背景之外的弯曲时空背景下形式化弦理论。
• 将等距群上的WZW模型态与量子群表示联系起来，以定义弦振幅。
• 证明弦散射振幅可从二维BF理论的自旋泡沫态和模型推导得出。
• 建立所得振幅为拓扑不变，并对应于一种拓扑弦理论。

提出的方法

• 利用李群G的WZW模型态与关联于G的量子群表示之间的对应关系。
• 将弦散射振幅定义为θₙ自旋网络不变量的群协变线性组合。
• 通过基于等距群G的二维BF理论的态和模型构造自旋网络不变量。
• 使用量子群表示评估态和，通过庞彻尔移动不变性确保拓扑不变性。
• 通过将互垂算符的评价设为狄拉克函数形式，对θₙ顶点振幅进行重标度，以确保对拓扑移动的不变性。
• 通过自旋网络中θₙ边数和顶点移动的归纳法，证明态和的完整拓扑不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在弯曲时空背景下，利用自旋网络和拓扑量子场论一致地定义弦散射振幅？
• RQ2 在此背景下，等距群上的WZW模型态与量子群表示之间有何关系？
• RQ3 所得振幅是否在拓扑移动下保持不变，表明其为拓扑弦理论？
• RQ4 二维BF理论的态和模型在定义这些振幅中起什么作用？
• RQ5 能否对特定等距群（如SU(2)）显式计算振幅，且其是否与已知的拓扑弦振幅一致？

主要发现

• 当时空流形紧致且具有群度量时，弦散射振幅是良定义的，这确保了背景几何的一致性。
• 对于SU(2)背景的等距群，最简单的散射振幅被显式计算，并表明其结构与拓扑弦振幅一致。
• 振幅由通过二维BF理论态和模型评估的θₙ自旋网络不变量构成，该模型已被证明具有拓扑不变性。
• 由于对顶点振幅进行了重标度以保持狄拉克函数形式的互垂算符收缩，态和模型在庞彻尔移动下保持不变，包括作用于含θₙ边区域的移动。
• 自旋网络评估通过量子维数Δᵢ的乘积进行重标度，以确保拓扑不变性，且该重标度对一致性至关重要。
• 该模型在弯曲时空下提供了拓扑弦理论的明确实现，振幅通过量子群不变量和BF理论定义。