[论文解读] String topology for complex projective spaces

Richard Hepworth|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文完整描述了复射影空间 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ 的自由循环空间上的整数系数弦拓扑 Batalin-Vilkovisky (BV) 代数结构。它在 Cohen、Jones 和 Yan 关于环结构的先前工作的基础上，显式计算了 BV 算子 $\Delta$，表明其仅在涉及负次数生成元 $w$ 的元素上非平凡作用，并将系数与 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ 的陈类联系起来。关键结果是 $\Delta(c^p w v^q)$ 的闭式公式，其中涉及上陈类和二项式系数。

ABSTRACT

In 1999 Chas and Sullivan showed that the homology of the free loop space of an oriented manifold admits the structure of a Batalin-Vilkovisky algebra. In this paper we give a complete description of this Batalin-Vilkovisky algebra for complex projective spaces. This builds on a description of the ring structure that is due to Cohen, Jones and Yan. In the course of the proof we establish several new general results. These include a description of how symmetries of a manifold can be used to understand its string topology, and a relationship between characteristic classes and circle actions on sphere bundles.

研究动机与目标

• 通过整数系数计算 BV 算子 $\Delta$，完成对 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ 弦拓扑 BV 代数的完整描述。
• 建立 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ 的特征类与 $H_*(L\mathbb{C}\mathrm{P}^n)$ 上弦拓扑 BV 代数结构之间的关系。
• 推广利用对称性与球丛上的圆作用来计算弦拓扑不变量的技术。
• 提供一个统一框架，以恢复并扩展先前在 $\mathbb{Q}$ 上对 $S^2$ 和 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ 的结果。

提出的方法

• 以 Cohen、Jones 和 Yan 关于 $\mathbb{H}_*(L\mathbb{C}\mathrm{P}^n;\mathbb{Z})$ 的已知环结构为起点。
• 通过 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ 的切丛的球丛上的圆作用，应用新方法计算 BV 算子 $\Delta$。
• 利用与 $\mathbb{S}T\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ 上 $S^1$-作用相关的上移算子，通过特征类计算 $\Delta$。
• 在 $\mathbb{S}T\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ 上两个 $S^1$-作用之间建立同伦，以将 BV 算子与陈类关联。
• 利用陈类 $c_n(T\mathbb{C}\mathrm{P}^n)$ 和 $c_{n-1}(T\mathbb{C}\mathrm{P}^n)$ 确定 $\Delta$ 公式中的系数。
• 利用 $c(T\mathbb{C}\mathrm{P}^n) = (1+u)^{n+1}$ 的事实，计算与 $\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$ 的交积数。

实验结果

研究问题

• RQ1 BV 算子 $\Delta$ 在 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ 的弦拓扑 BV 代数上如何作用，且具有整数系数？
• RQ2 如何精确描述 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ 的陈类与弦拓扑 BV 代数结构常数之间的关系？
• RQ3 能否利用流形的对称性（如球丛上的圆作用）来计算弦拓扑中的 BV 算子？
• RQ4 在 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ 的 BV 代数中，整数系数如何与文献中已有的有理数与整数计算结果相关联？

主要发现

• BV 算子 $\Delta$ 在所有形如 $c^p v^q$ 的元素上为零，即对所有 $p,q \geq 0$ 有 $\Delta(c^p v^q) = 0$。
• 对于涉及负次数生成元 $w$ 的元素，BV 算子由下式给出：$\Delta(c^p w v^q) = \left[(n-p) + q(n+1)\right]c^p v^q + (q+1)\binom{n+1}{2}c^{n+p} v^{q+1}$。
• 公式中 $\binom{n+1}{2}$ 的系数源于对 $\langle c_{n-1}(T\mathbb{C}\mathrm{P}^n), [\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}] \rangle = \binom{n+1}{2}$ 的求值。
• 系数 $(n+1)$ 对应于 $\langle c_n(T\mathbb{C}\mathrm{P}^n), [\mathbb{C}\mathrm{P}^n] \rangle = n+1$，即 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ 的上陈数。
• 将公式对 $\mathbb{Q}$ 进行张量积后，可恢复 Yang [Yan07] 的有理弦拓扑结果，同时也恢复了 Menichi 对 $S^2 = \mathbb{C}\mathrm{P}^1$ 的结果。
• BV 代数结构完全由环结构和 $\Delta$ 的显式作用决定，而 Gerstenhaber 李括号由 BV 恒等式确定。