[论文解读] Strominger connection and pluriclosed metrics

Quanting Zhao, Fangyang Zheng|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用 15

一句话总结

本文证明了，若一个紧致的厄米流形配备一个具有凯勒型对称性的斯特罗明格（比斯穆特）联络（即其曲率满足凯勒型对称性），则该流形必具有全纯闭度量。关键结果表明，斯特罗明格凯勒型条件等价于度量为全纯闭且挠率张量在斯特罗明格联络下平行。

ABSTRACT

In this paper, we prove a conjecture raised by Angella, Otal, Ugarte, and Villacampa recently, which states that if the Strominger connection (also known as Bismut connection) of a compact Hermitian manifold is Kähler-like, in the sense that its curvature tensor obeys all the symmetries of the curvature of a Kähler manifold, then the metric must be pluriclosed. What we actually showed is a bit more: for any given Hermitian manifold, the Strominger Kähler-like condition is equivalent to the pluriclosedness of the metric plus the parallelness of the torsion.

研究动机与目标

• 解决安杰拉、奥塔尔、乌加特和维拉坎帕关于紧致厄米流形中斯特罗明格凯勒型条件的猜想。
• 阐明斯特罗明格联络表现出凯勒型对称性的几何与曲率条件。
• 精确刻画斯特罗明格联络的曲率满足完整凯勒曲率对称性的条件。
• 研究非凯勒厄米几何中全纯闭度量、挠率平行性与凯勒型条件之间的相互作用。
• 拓展对斯特罗明格凯勒型流形中高斯孔类型条件与上同调障碍的理解。

提出的方法

• 使用斯特罗明格（比斯穆特）联络，即具有完全反对称挠率的唯一厄米联络。
• 推导斯特罗明格联络下的曲率恒等式与类比贝亚希恒等式，以分析凯勒型对称性条件。
• 应用第一与第二贝亚希恒等式，将曲率对称性与度量的全纯闭性及挠率平行性联系起来。
• 运用复微分几何技术，包括对 (1,0) 与 (0,1) 切丛的分解及复曲率分量。
• 采用高斯孔联络框架与强高斯孔条件，推导上同调障碍。
• 反证法：假设存在非凯勒的斯特罗明格凯勒型度量，将通过涉及 $\partial\overline{\partial}$-恰当形式的积分恒等式导出挠率消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，厄米流形的斯特罗明格联络具有凯勒型？
• RQ2 斯特罗明格联络的凯勒型条件是否等价于度量为全纯闭且挠率为平行？
• RQ3 紧致非凯勒厄米流形能否允许存在斯特罗明格凯勒型度量？
• RQ4 斯特罗明格凯勒型条件与全纯闭或强高斯孔条件之间有何关系？
• RQ5 在非凯勒的紧致斯特罗明格凯勒型流形中，会涌现出何种上同调障碍？

主要发现

• 斯特罗明格凯勒型条件等价于度量为全纯闭且挠率张量在斯特罗明格联络下平行。
• 任何斯特罗明格凯勒型度量必为高斯孔度量，满足 $\partial\overline{\partial}(\omega^{n-1}) = 0$。
• 若一紧致厄米流形为斯特罗明格凯勒型但非凯勒，则其 Dolbeault 上同调群 $H^{0,1}_{\overline{\partial}}(M)$ 非平凡。
• 在斯特罗明格凯勒型条件下，该流形除非为凯勒，否则无法容纳强高斯孔度量。
• 当 $n \geq 3$ 时，任何斯特罗明格凯勒型度量均满足 $k$-高斯孔条件：对所有 $1 \leq k \leq n-1$，有 $\partial\overline{\partial}(\omega^k) \wedge \omega^{n-k-1} = 0$。
• 点态恒等式 $2|\eta|^2 - |T|^2 = 0$ 成立，结合挠率平行性可推出全纯闭性。