[论文解读] Strong and weak (1, 2) homotopies on knot projections and new invariants

Noboru Ιτο, Yusuke Takimura|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文通过将第二类平直 Reidemeister 移动分解为定向自切线修改，引入了纽结投影上的强和弱 (1,2) 同伦关系，通过非 Seifert (A⁻¹) 分解定义了新不变量。该文建立了强和弱 (1,2) 同伦等价的充要条件，使用约化的纽结投影，并构造了一个整数值不变量，以区分强同伦与弱同伦下的平凡化类。

ABSTRACT

Every second flat Reidemeister move of knot projections can be decomposed into two types thorough an inverse or direct self-tangency modification, respectively called strong or weak, when orientations of the knot projections are arbitrarily provided. Further, we introduce the notions of strong and weak (1, 2) homotopies; we define that two knot projections are strongly (resp. weakly) (1, 2) homotopic if and only if two knot projections are related by a finite sequence of first and strong (resp. weak) second flat Reidemeister moves. This paper gives a new necessary and sufficient condition that two knot projections are not strongly (1, 2) homotopic. Similarly, we obtain a new necessary and sufficient condition in the weak (1, 2) homotopy case. We also define a new integer-valued strong (1, 2) homotopy invariant. Using it, we show that the set of the non-trivial prime knot projections without 1-gons that can be trivialized under strong (1, 2) homotopy is disjoint from that of weak (1, 2) homotopy. We also investigate topological properties of the new invariant and give its generalization, a comparison of our invariants and Arnold invariants, and a table of invariants.

研究动机与目标

• 解决关于两个纽结投影在强或弱 (1,2) 同伦下等价的必要与充分条件的开放问题。
• 定义并分析用于分类纽结投影的同伦关系下的新不变量。
• 区分在强与弱 (1,2) 同伦下可平凡化的素纽结投影集合。
• 通过非 Seifert 分解推广拓扑不变量，并将其与 Arnold 不变量及圆排列联系起来。

提出的方法

• 基于方向兼容性，将第二类平直 Reidemeister 移动分解为强和弱自切线修改。
• 通过第一类平直 Reidemeister 移动与强/弱第二类移动的序列，引入强和弱 (1,2) 同伦关系。
• 在每个二重点处使用非 Seifert (A⁻¹) 分解，定义一个与方向无关的整数值新不变量 τ(P)。
• 将不变量 τ(P) 应用于分类纽结投影，按强和弱 (1,2) 同伦关系分类，特别关注不含 1-边形的素投影。
• 使用圆排列和弦图表示并分析纽结投影的拓扑结构。
• 应用 s2a 和 1a 操作将连通和变换为素纽结投影，同时保持不变量不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个纽结投影强 (1,2) 同伦的充要条件是什么？
• RQ2 两个纽结投影弱 (1,2) 同伦的充要条件是什么？
• RQ3 一个新整数值不变量能否区分在强与弱 (1,2) 同伦下可平凡化的纽结投影？
• RQ4 非 Seifert 分解 (A⁻¹) 在 RI 和强/弱 RIIs 下的行为如何？它产生哪些不变量？
• RQ5 不含 1-边形的素纽结投影中，圆排列的结构是什么？它们与同伦类有何关系？

主要发现

• 两个纽结投影当且仅当其强（相应地，弱）约化投影同痕时，为强（相应地，弱）(1,2) 同伦。
• 不变量 τ(P) 是一个整数值的强 (1,2) 同伦不变量，可区分平凡化类：在强 (1,2) 同伦下可平凡化的非平凡素纽结投影集合，与在弱 (1,2) 同伦下可平凡化的集合互不相交。
• 对于任意纽结投影 P，若 τ(P) ≤ 2，则 τ(P) = 1，且 τ(4₁) = 1，表明 τ(P) 对某些非平凡投影是非平凡的。
• 任意圆排列 s 可实现为某个素纽结投影 P 的 τ(P)，该 P 通过三叶草和 6₃ 投影的连通和构造，再经 s2a 或 (1a)(s2a) 操作得到。
• 不含 1-边形的素纽结投影（至多七个二重点）的圆不变量表格中包含 7_A、7_B、7_C 等符号，这些符号通过 Rolfsen 表格经翻转操作获得。
• 表格中标记为 's' 或 'w' 的行表示存在由 1a 和 s2a（或 w2a）移动构成的序列，连接两个投影，反映强或弱同伦关系。