[论文解读] Strong and weak convergence in the averaging principle for SDEs with Hölder coefficients

Michael Röckner, Xiaobin Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用 14

一句话总结

本文利用Zvonkin变换和Poisson方程，建立了具有时间依赖Hölder连续系数的随机微分方程的平均化原理。证明了强收敛速率精确为$(\alpha \wedge 1)/2$，弱收敛速率精确为$(\alpha/2) \wedge 1$，表明收敛性仅取决于慢分量系数的正则性，而与快分量的正则性无关。

ABSTRACT

Using Zvonkin's transform and the Poisson equation in $R^d$ with a parameter, we prove the averaging principle for stochastic differential equations with time-dependent Hölder continuous coefficients. Sharp convergence rates with order $(α\wedge1)/2$ in the strong sense and $(α/2)\wedge1$ in the weak sense are obtained, considerably extending the existing results in the literature. Moreover, we prove that the convergence of the multi-scale system to the effective equation depends only on the regularity of the coefficients of the equation for the slow variable, and does not depend on the regularity of the coefficients of the equation for the fast component.

研究动机与目标

• 建立具有时间依赖Hölder连续系数的多尺度SDEs的平均化原理，突破经典Lipschitz假设的限制。
• 在$\varepsilon \to 0$的平均化极限下，推导强收敛与弱收敛的精确收敛速率。
• 证明收敛速率仅取决于慢分量系数的正则性，而与快分量系数的正则性无关。
• 通过Zvonkin变换和带参数的Poisson方程，构建一个严格的概率框架，以处理低正则性系数。
• 推广现有结果，消除对漂移项和扩散项全局Lipschitz连续性的需求。

提出的方法

• 利用Zvonkin变换对SDEs进行正则化，并在$\mathbb{R}^d$中构造带参数的Poisson方程的合适测试函数。
• 应用带参数的Poisson方程，对慢分量$X_t^\varepsilon$进行摄动展开，从而实现误差估计。
• 对一列逼近函数$\tilde{\Psi}_n$应用Itô公式，将误差分解为三项：$\tilde{\mathscr{Q}}_1$、$\tilde{\mathscr{Q}}_2$ 和 $\tilde{\mathscr{Q}}_3$，并通过Hölder正则性分别有界。
• 利用Krylov估计和Chebyshev不等式，控制$\psi$与其逼近$\psi_n$之间差值的$L^p$-范数，确保弱收敛性。
• 应用Kolmogorov方程解的概率表示，将$\varphi(Y_T^\varepsilon)$的期望与有效动力学$\bar{Y}_T$联系起来。
• 通过选择参数$n = \varepsilon^{-1/2}$平衡各项误差，推导出弱收敛下的精确收敛速率$\varepsilon^{(\alpha/2) \wedge 1}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在仅满足Hölder连续性、无需全局Lipschitz连续性假设下，建立具有时间依赖系数的SDEs的平均化原理？
• RQ2 在Hölder正则性假设下，平均化原理中强收敛与弱收敛的精确收敛速率是什么？
• RQ3 慢分量对有效方程的收敛速率是否依赖于快分量系数的正则性？
• RQ4 Zvonkin变换和带参数的Poisson方程能否有效处理多尺度SDEs中的低正则性系数？
• RQ5 当测试函数$\varphi$仅为连续函数而非光滑函数时，如何证明弱收敛性？

主要发现

• 本文证明了具有时间依赖Hölder连续系数的SDEs的强收敛速率精确为$(\alpha \wedge 1)/2$，其中$\alpha \in (0,1)$为Hölder指数。
• 对于弱收敛，本文建立了精确的收敛速率$(\alpha/2) \wedge 1$，优于现有结果中缺乏显式收敛速率的状况。
• 收敛速率仅取决于慢分量系数的正则性，与快分量系数的正则性无关。
• 通过使用Zvonkin变换和带参数的Poisson方程，即使在最小光滑性假设下，也能推导出误差界。
• 通过将连续有界测试函数$\varphi$逼近为$C_b^3$类函数，并利用Krylov估计，建立了对连续有界测试函数的弱收敛性。
• 最优选择$n = \varepsilon^{-1/2}$平衡了各项误差，最终导出弱收敛估计中的收敛速率$\varepsilon^{(\alpha/2) \wedge 1}$。