[论文解读] Strong boundedness of simply connected split Chevalley groups defined over rings

Alexander A. Trost|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2020

semigroups and automata theory参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文在交换环上建立了单连通分裂Chevalley群的强有界性，证明了相对于任意有限正规生成集，词直径被一个仅依赖于群和环的常数所控制，而不依赖于生成集的大小。证明结合了根元的有界生成性、正规子群的结构性结果以及Gödel紧致性定理，将Kędra、Libman和Martin在SL_n(R)上的结果推广至一般分裂Chevalley群，包括Sp_4(R)和G_2(R)，并表明在某些环中，此类群无法由单个共轭类正规生成。

ABSTRACT

This paper is concerned with the diameter of certain word norms on S-arithmetic split Chevalley groups. Such groups are well known to be boundedly generated by root elements. We prove that word metrics given by conjugacy classes on S-arithmetic split Chevalley groups have an upper bound only depending on the number of conjugacy classes. This property, called strong boundedness, was introduced by Kedra, Libmann and Martin and proven for ${ m SL}_n(R)$, assuming R is a principal ideal domain and $n\geq 3$. We also provide examples of normal generating sets for S-arithmetic split Chevalley groups proving our bounds are sharp in an appropriate sense and give a complete account of obstructions to the existence of small normally generating sets of ${ m Sp}_4(R)$ and $G_2(R)$. For instance, we prove that ${ m Sp}_4(\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-7}}{2}])$ cannot be generated by a single conjugacy class.

研究动机与目标

• 将Kędra、Libman和Martin在SL_n(R)上的强有界性结果推广至所有交换环上的单连通分裂Chevalley群。
• 建立相对于任意有限正规生成集的词直径的统一有界性，其常数仅依赖于群和环，而不依赖于集合的大小。
• 分析小规模正规生成集的存在性与最小性，特别是对Sp_4和G_2等秩2群。
• 通过构造例子证明界限的紧致性，例如Sp_4(Z[(1+√-7)/2])，表明单个共轭类无法生成该群。

提出的方法

• 利用根元对群的有界生成性，这是在合适环上秩≥2的分裂Chevalley群的已知结果。
• 应用交换环上Chevalley群正规子群的结构性结果，以控制从有限生成集的共轭生成根元。
• 使用Gödel紧致性定理，将任意环上的问题约化为代数闭域的情形，从而实现统一有界性。
• 采用表示论论证和在最高权模上的作用，证明在域和整环上与根子群交换的元素必为群的中心。
• 分析模素理想的G(Φ,R)结构，并利用R的本原性将中心元素提升至整个环。
• 为S-算术Chevalley群显式构造有限正规生成集，并通过环的数论性质证明其界限的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在所有交换环上的单连通分裂Chevalley群上建立强有界性，即相对于任意有限正规生成集，词直径被仅依赖于群和环的常数所控制？
• RQ2 Sp_4(R)和G_2(R)的正规生成集的最小可能大小是多少？在何种情况下单个共轭类不足以生成群？
• RQ3 环R的结构，特别是其剩余域和稳定范围，如何影响小规模正规生成集的存在性与大小？
• RQ4 这些结果在多大程度上可推广至主理想环之外，特别是类数>1的代数整数环？
• RQ5 特征2和3在秩2 Chevalley群的正规生成中起什么作用？为何对B_2和G_2需要条件(R:2R) < ∞？

主要发现

• 对于任意不可约根系Φ（秩≥2）和单位元为1的交换环R，若G(Φ,R)被根元有界生成，且当Φ = B_2或G_2时满足(R:2R) < ∞，则存在常数C(Φ,R)，使得对任意有限正规生成集S，有||G(Φ,R)||_S ≤ C(Φ,R) · |S|。
• 该界限是紧致的，即在具有无限多个极大理想的环R上，存在大小为k的有限正规生成集S_k，使得直径随k线性增长。
• Sp_4(Z[(1+√-7)/2])和G_2(Z[(1+√-7)/2])无法由单个共轭类正规生成，表明正规生成集的最小大小可超过1。
• 证明策略避免了显式的矩阵计算，转而使用群论和模型论工具，包括Gödel紧致性定理，将主理想环上的结果推广至任意交换环。
• 对于S-代数整数环，结果给出了显式依赖于数域和集合S的强有界性，推广了Kędra、Libman和Martin的定理1.1。
• 本文对Sp_4(R)和G_2(R)的小规模正规生成集提供了完整分类，表明在Z[(1+√-7)/2]等某些环上，最小大小至少为2。