[论文解读] The word and conjugacy problems in lacunary hyperbolic groups

Arman Darbinyan|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文建立了孤子双曲群（LHG）中字问题可判定性的必要且充分条件，并基于分级小取消理论构建了一个框架，以构造具有高度可控字问题与共轭问题的LHG。研究表明，对于任意递归可枚举语言 $Σ$，均存在一个LHG，使得 $Σ$ 的成员资格问题与该群的共轭问题近乎线性时间等价；并构造出字问题近乎线性时间可判定但个体共轭问题不可判定的群，以及具有高效可判定字问题与共轭问题的无限 verbally complete 群和无扭 Tarski 恐龙群。

ABSTRACT

We study the word and conjugacy problems in lacunary hyperbolic groups (briefly, LHG). In particular, we describe a necessary and sufficient condition for decidability of the word problem in LHG. Then, based on the graded small-cancellation theory of Olshanskii, we develop a general framework which allows us to construct lacunary hyperbolic groups with word and conjugacy problems highly controllable and flexible both in terms of computability and computational complexity. As an application, we show that for any recursively enumerable subset $\mathcal{L} \subseteq \mathcal{A}^*$, where $\mathcal{A}^*$ is the set of words over arbitrarily chosen non-empty finite alphabet $\mathcal{A}$, there exists a lacunary hyperbolic group $G_{\mathcal{L}}$ such that the membership problem for $ \mathcal{L}$ is `almost' linear time equivalent to the conjugacy problem in $G_{\mathcal{L}}$. Moreover, for the mentioned group the word and individual conjugacy problems are decidable in `almost' linear time. Another application is the construction of a lacunary hyperbolic group with `almost' linear time word problem and with all the individual conjugacy problems being undecidable except the word problem. As yet another application of the developed framework, we construct infinite verbally complete groups and torsion free Tarski monsters, i.e. infinite torsion-free groups all of whose proper subgroups are cyclic, with `almost' linear time word and polynomial time conjugacy problems. These groups are constructed as quotients of arbitrarily given non-elementary torsion-free hyperbolic groups and are lacunary hyperbolic. Finally, as a consequence of the main results, we answer a few open questions.

研究动机与目标

• 刻画孤子双曲群中字问题可判定性的条件。
• 发展一个通用框架，用于构造具有可控计算复杂度的字问题与共轭问题的孤子双曲群。
• 证明在某些LHG中，共轭问题与任意递归可枚举成员资格问题近乎线性时间等价。
• 构造具有高效可判定字问题与共轭问题的无限 verbally complete 群及无扭 Tarski 恐龙群。

提出的方法

• 利用奥尔什安斯基的分级小取消理论，构建具有受控取消条件的双曲群链。
• 引入 $(\lambda,c,\epsilon,\eta)$-循环约化算法，以分析共轭图并估计时间复杂度。
• 使用平面范坎彭图与纤细共轭图分析群元素及其共轭的几何性质。
• 应用最低参数原理（LPP）以限制图中路径与胞腔的长度，确保算法效率。
• 定义孤子双曲群的一个子类，满足条件 $C'(\mathcal{TM},(g_i),({\rho}_i))$，以保证共轭问题的有效性。
• 将非初等无扭双曲群取商群，以实现所需的结构与算法性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 孤子双曲群中字问题可判定的必要且充分条件是什么？
• RQ2 孤子双曲群中，共轭问题能否与任意递归可枚举语言的成员资格问题近乎线性时间等价？
• RQ3 能否构造一个孤子双曲群，使其字问题近乎线性时间可判定，而所有个体共轭问题均不可判定（除字问题外）？
• RQ4 能否将无限 verbally complete 群或无扭 Tarski 恐龙群构造为孤子双曲群，且其字问题与共轭问题均可高效判定？
• RQ5 如何利用分级小取消理论控制此类群中字问题与共轭问题的计算复杂度？

主要发现

• 对于任意递归可枚举子集 $\mathcal{L} \subseteq \mathcal{A}^*$，存在一个孤子双曲群 $G_{\mathcal{L}}$，使得 $\mathcal{L}$ 的成员资格问题与 $G_{\mathcal{L}}$ 中的共轭问题近乎线性时间等价。
• 在 $G_{\mathcal{L}}$ 中，字问题与所有个体共轭问题均可在近乎线性时间内判定。
• 存在一个孤子双曲群，其字问题近乎线性时间可判定，而所有个体共轭问题均不可判定（除字问题外）。
• 无限 verbally complete 群与无扭 Tarski 恐龙群可被构造为孤子双曲群，其字问题在近乎线性时间内可判定，共轭问题在多项式时间内可判定。
• 该框架解决了关于此类群存在性及其受控算法复杂度的开放问题，尤其在小取消与双曲性背景下。