[论文解读] Strong connections and the relative Chern-Galois character for corings

Gabriella Böhm, Tomasz Brzeziński|ArXiv.org|Mar 22, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文利用余代数中的强联络，为非交换环上的缠结扩张构造了相对陈-伽罗瓦特征，将非交换几何工具推广至深度2弗罗贝尼乌斯和可分扩张。主要贡献是构建了一类从有限生成投射余模的格罗腾迪克群到偶数相对循环同调的映射，该映射在适当的平坦性和分裂条件之下，对强联络的选择具有不变性。

ABSTRACT

The Chern-Galois theory is developed for corings or coalgebras over non-commutative rings. As the first step the notion of an entwined extension as an extension of algebras within a bijective entwining structure over a non-commutative ring is introduced. A strong connection for an entwined extension is defined and it is shown to be closely related to the Galois property and to the equivariant projectivity of the extension. A generalisation of the Doi theorem on total integrals in the framework of entwining structures over a non-commutative ring is obtained, and the bearing of strong connections on properties such as faithful flatness or relative injectivity is revealed. A family of morphisms between the K0-group of the category of finitely generated projective comodules of a coring and even relative cyclic homology groups of the base algebra of an entwined extension with a strong connection is constructed. This is termed a relative Chern-Galois character. Explicit examples include the computation of a Chern-Galois character of depth 2 Frobenius split (or separable) extensions over a separable algebra R. Finitely generated and projective modules are associated to an entwined extension with a strong connection, the explicit form of idempotents is derived, the corresponding (relative) Chern characters are computed, and their connection with the relative Chern-Galois character is explained.

研究动机与目标

• 将陈-伽罗瓦特征形式化从域推广至缠结结构中的非交换基环。
• 建立缠结扩张中强联络、伽罗瓦性质与等变投影性之间的联系。
• 构造一个将余模K-理论映射到相对循环同调的相对陈-伽罗瓦特征。
• 证明在平坦性和分裂条件下，该特征对强联络选择具有不变性。
• 为可裂霍普夫代数丛扩张和深度2弗罗贝尼乌斯分裂扩张提供该特征的显式计算。

提出的方法

• 在双射缠结结构中引入缠结扩张，作为非交换环上的代数。
• 在双射缠结结构中定义强T-联络，以推广霍普夫-伽罗瓦理论中联络的概念。
• 利用广义的陈-奎伦定理，将强联络与等变投影性及伽罗瓦性质联系起来。
• 从余代数C的有限生成投射余模出发，构造基代数B的T-相对循环复形中的偶数循环。
• 将相对陈-伽罗瓦特征定义为从K₀(C)到偶数T-相对循环同调群HC₂ₙ(B|T)的一族映射。
• 应用典范满射λ*: HC*(B) → HC*(B|T)，并利用陈特征对幂等元代表的不变性，证明其对联络选择的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将陈-伽罗瓦特征推广至非交换基环上的缠结扩张？
• RQ2 在缠结扩张中，强联络、伽罗瓦性质与等变投影性之间存在何种关系？
• RQ3 在何种条件下，相对陈-伽罗瓦特征对强联络的选择具有不变性？
• RQ4 如何为可裂霍普夫代数丛扩张和深度2弗罗贝尼乌斯分裂扩张显式计算陈-伽罗瓦特征？
• RQ5 相对陈-伽罗瓦特征与基代数B的相对陈特征之间存在何种联系？

主要发现

• 根据定理3.7，强T-联络存在的充要条件是缠结扩张为伽罗瓦扩张且具有等变投影性。
• 相对陈-伽罗瓦特征被构造为从K₀(C)到偶数T-相对循环同调群HC₂ₙ(B|T)的一族映射，其显式公式在定理5.4中导出。
• 对于可裂霍普夫代数丛扩张和深度2弗罗贝尼乌斯分裂扩张，该特征被显式计算，并证明其与B的相对陈特征一致。
• 在分裂为B-T双模、A在T上局部投影、平坦性以及映射(5.1)的满射性等假设下，相对陈-伽罗瓦特征对强联络选择具有不变性，该结论在定理5.14中得到证明。
• 当扩张为分裂扩张且满足平坦性与投影性条件时，相对陈-伽罗瓦特征的值等于B的相对陈特征，这是由于陈特征对幂等元代表的不变性所致。
• 在定理5.10中，显式推导了与具有强联络的缠结扩张相关的有限生成投射B-模的幂等元构造，从而实现了相对陈特征的计算。