[论文解读] Strong convergence rates for numerical approximations of fractional Brownian motion

Philipp Harms|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2019

Financial Risk and Volatility Modeling被引用 2

一句话总结

本文提出了一种利用一类Ornstein-Uhlenbeck过程近似分数布朗运动的数值方法，实现了任意高的多项式收敛速率。该方法使分数波动率模型（如粗糙Bergomi模型）的高效蒙特卡洛模拟成为可能，同时揭示了其在可扩展性和计算成本方面的固有局限性。

ABSTRACT

Many fractional processes can be represented as an integral over a family of Ornstein-Uhlenbeck processes. This representation naturally lends itself to numerical discretizations, which are shown in this paper to have strong convergence rates of arbitrarily high polynomial order. This explains the potential, but also some limitations of such representations as the basis of Monte Carlo schemes for fractional volatility models such as the rough Bergomi model.

研究动机与目标

• 开发一种在数值上高效且准确的分数布朗运动模拟方法，该过程是粗糙波动率建模中的关键过程。
• 分析基于涉及Ornstein-Uhlenbeck过程的积分表示的数值近似方法的收敛性质。
• 评估此类表示在粗糙波动率模型蒙特卡洛模拟中的实际可行性与局限性。

提出的方法

• 将分数布朗运动表示为一族均值回归的Ornstein-Uhlenbeck过程的积分形式。
• 对积分表示应用数值离散化方案以实现模拟。
• 通过严格分析离散化误差，建立强收敛速率。
• 证明通过细化离散化，可使收敛速率达到任意高的程度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用Ornstein-Uhlenbeck表示，使分数布朗运动的数值近似实现任意高的多项式收敛速率？
• RQ2 此类方案的收敛速率在实际中如何随离散化参数变化？
• RQ3 在粗糙波动率模型的蒙特卡洛模拟中，使用该表示的实际计算和实践限制是什么？

主要发现

• 所提出的数值方案实现了任意高的多项式阶强收敛速率，具有显著的理论优势。
• 该方法基于分数布朗运动通过一族Ornstein-Uhlenbeck过程的随机积分表示。
• 尽管收敛速率很高，但该方法因高精度要求导致计算成本增加，面临实际限制。
• 该方法为粗糙波动率模型（如粗糙Bergomi模型）的蒙特卡洛模拟提供了可行的基础。