[论文解读] Weak Convergence Rates for Spatial Spectral Galerkin Approximations of Semilinear Stochastic Wave Equations with Multiplicative Noise

Ladislas Jacobe de Naurois, Arnulf Jentzen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 58被引用 13

一句话总结

本文为带乘性噪声的半线性随机波动方程的时空谱 Galerkin 逼近建立了本质上精确的弱收敛速率，填补了此前文献中仅限于加性噪声的空白。通过结合柯尔莫哥洛夫方程、Schatten 范数的霍尔德不等式以及弱伊藤公式，作者证明了弱收敛速率是强收敛速率的两倍——具体而言，对于双曲安德森模型，其收敛速率为 1−ε，确认了一个长期寻求的理论基准。

ABSTRACT

Stochastic wave equations appear in several models for evolutionary processes subject to random forces, such as the motion of a strand of DNA in a liquid or heat flow around a ring. Semilinear stochastic wave equations can typically not be solved explicitly, but the literature contains a number of results which show that numerical approximation processes converge with suitable rates of convergence to solutions of such equations. In the case of approximation results for strong convergence rates, semilinear stochastic wave equations with both additive or multiplicative noise have been considered in the literature. In contrast, the existing approximation results for weak convergence rates assume that the diffusion coefficient of the considered semilinear stochastic wave equation is constant, that is, it is assumed that the considered wave equation is driven by additive noise, and no approximation results for multiplicative noise are known. The purpose of this work is to close this gap and to establish sharp weak convergence rates for semilinear stochastic wave equations with multiplicative noise. In particular, our weak convergence result establishes as a special case essentially sharp weak convergence rates for the hyperbolic Anderson model. Our method of proof makes use of the Kolmogorov equation, the H\"older-inequality for Schatten norms, and the mild It\^o formula.

研究动机与目标

• 通过建立由乘性噪声驱动的半线性随机波动方程的弱收敛速率，填补文献中此前仅针对加性噪声进行分析的空白。
• 为随机 PDE 中的典型模型——双曲安德森模型，推导出本质上精确的弱收敛速率。
• 构建一个适用于一大类带乘性噪声和非恒定扩散系数的半线性随机波动方程的通用框架。
• 通过利用弱伊藤公式与 Schatten 范数估计，将弱收敛分析拓展至强收敛范域之外。

提出的方法

• 通过柯尔莫哥洛夫方程将弱误差与一个确定性 PDE 的解联系起来。
• 利用 Schatten 范数的霍尔德不等式，控制弱误差估计中二阶导数的增长。
• 应用弱伊藤公式，推导 Galerkin 逼近的先验估计，从而控制解的各阶矩。
• 引入与线性算子 −A 相关的一族插值空间，以刻画解与噪声的正则性。
• 分析依赖于非线性项 F 和 B 的利普希茨连续性与有界二阶导数条件，以确保弱收敛所需的足够光滑性。
• 将该框架应用于噪声系数为状态相关性的双曲安德森模型，推导出显式的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于带乘性噪声的半线性随机波动方程的谱 Galerkin 逼近，可实现何种弱收敛速率？
• RQ2 双曲安德森模型的弱收敛速率是否可被确立为本质上精确？
• RQ3 在相同设定下，弱收敛速率与已知的强收敛速率相比如何？
• RQ4 在弱收敛设定下，处理非恒定扩散系数所需的分析工具是什么？

主要发现

• 本文确立了带乘性噪声的半线性随机波动方程的谱 Galerkin 逼近的弱收敛速率为 1−ε 阶，且本质上精确。
• 对于双曲安德森模型，弱收敛速率恰好是已知强收敛速率的两倍，证实了猜想的标度行为。
• 主定理（1.2）中的界表明，弱误差以 N^{ε−1} 的速率衰减，对任意 ε > 0 成立，意味着收敛速率可任意接近 1。
• 该方法成功处理了非恒定扩散系数（即乘性噪声），将先前仅限于加性噪声的结果予以拓展。
• 基于柯尔莫哥洛夫方程与 Schatten 范数估计的证明框架具有普遍性，适用于一大类半线性随机波动方程。
• 该结果确认双曲安德森模型在弱收敛意义下具有 1−ε 的收敛速率，解决了随机偏微分方程数值分析领域长期存在的开放问题。