[论文解读] Strong Formulations for Distributionally Robust Chance-Constrained Programs with Left-Hand Side Uncertainty under Wasserstein Ambiguity

Nam Ho-Nguyen, Fatma Kılınç-Karzan+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2020

Risk and Portfolio Optimization参考文献 33被引用 6

一句话总结

本文提出了在Wasserstein模糊下针对左侧不确定性分布鲁棒机会约束规划（DR-CCP）的强混合整数规划公式。通过建立与名义机会约束规划之间的联系，并引入基于分位数的强化程序，作者推导出线性数量的有效不等式及一种高效的分离方案，显著降低了big-M系数并提升了可扩展性——使得先前方法失效的大规模实例也能被精确求解。

ABSTRACT

Distributionally robust chance-constrained programs (DR-CCP) over Wasserstein ambiguity sets exhibit attractive out-of-sample performance and admit big-$M$-based mixed-integer programming (MIP) reformulations with conic constraints. However, the resulting formulations often suffer from scalability issues as sample size increases. To address this shortcoming, we derive stronger formulations that scale well with respect to the sample size. Our focus is on ambiguity sets under the so-called left-hand side (LHS) uncertainty, where the uncertain parameters affect the coefficients of the decision variables in the linear inequalities defining the safety sets. The interaction between the uncertain parameters and the variable coefficients in the safety set definition causes challenges in strengthening the original big-$M$ formulations. By exploiting the connection between nominal chance-constrained programs and DR-CCP, we obtain strong formulations with significant enhancements. In particular, through this connection, we derive a linear number of valid inequalities, which can be immediately added to the formulations to obtain improved formulations in the original space of variables. In addition, we suggest a quantile-based strengthening procedure that allows us to reduce the big-$M$ coefficients drastically. Furthermore, based on this procedure, we propose an exponential class of inequalities that can be separated efficiently within a branch-and-cut framework. The quantile-based strengthening procedure can be expensive. Therefore, for the special case of covering and packing type problems, we identify an efficient scheme to carry out this procedure. We demonstrate the computational efficacy of our proposed formulations on two classes of problems, namely stochastic portfolio optimization and resource planning.

研究动机与目标

• 解决在Wasserstein模糊下，针对左侧不确定性分布鲁棒机会约束规划（DR-CCP）的big-M公式在样本规模增大时的可扩展性限制。
• 克服现有big-M公式在样本规模增加时变得计算不可行的弱点。
• 开发可随样本规模高效扩展且保持强理论保证的强公式。
• 通过改进MIP公式与割部分离程序，实现大规模DR-CCP实例的精确求解。
• 为在分布不确定性下求解投资组合优化与资源规划等随机优化问题，提供实用框架。

提出的方法

• 建立名义机会约束规划与DR-CCP之间的联系，以在原始变量空间中生成线性数量的有效不等式。
• 提出一种基于分位数的强化程序，以显著降低MIP公式中的big-M系数。
• 引入一类指数级数量的有效不等式，该类不等式可通过分支定界割分框架高效分离。
• 为覆盖与打包问题设计专用且高效的方案，以加速基于分位数的强化程序。
• 实现一种分支定界割算法，动态分离所推导的不等式以收紧MIP松弛。
• 利用Wasserstein模糊下最坏概率的对偶表示，实现具有强边界约束的确定性MIP重构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为在Wasserstein模糊下具有左侧不确定性的DR-CCP推导出在样本规模增加时仍具有良好可扩展性的强公式？
• RQ2 如何显著降低现有MIP公式中的big-M系数以提升计算性能？
• RQ3 从名义问题结构中推导出的线性数量有效不等式对公式强度的影响如何？
• RQ4 能否设计一种基于分位数的强化程序，以高效降低big-M值同时保持可计算性？
• RQ5 对指数级不等式类的分离在提升解质量与收敛速度方面的有效性如何？

主要发现

• 对于N=100且θ=0.009的情况，所提出的改进公式可将全部10个实例求解至最优，而基础公式在时间限制内无法求解任何实例。
• 对于N=300且θ=0.009的情况，基础公式报告的最优性间隙高达97.08%，而改进公式实现0%最优性间隙。
• 对于N=300且θ=0.0001，混合变体（分离混合不等式）将最优性间隙从7.68%降低至7.55%；对于θ=0.001，从13.22%降至11.88%。
• 对于θ=0.0001且N=100，混合变体平均分离687.3条混合不等式，并在平均800秒内将九个实例求解至最优——比改进公式多三个，表明其在小θ值下表现更优。
• 对于N=300且θ=0.0001，混合变体的根间隙平均为10.28%，但求解至最优的实例数（五个）少于改进公式（六个），表明在间隙减小与整数性之间存在权衡。
• 基于分位数的强化程序在小θ值下最为有效，随着θ增大，收益递减；尽管计算成本较高，但在适用时具有显著优势。