[论文解读] Strong limit theorems for extended independent and extended negatively dependent random variables under non-linear expectations

Zhang Li|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2016

Probability and Risk ModelsDecision Sciences参考文献 27被引用 20

一句话总结

本文在次线性期望下，针对扩展独立与扩展负相依随机变量序列，建立了强有力的极限定理——即大数定律与迭代对数律。文章引入了比彭氏原始独立性更易验证的弱化形式的相依性，推导出新的矩不等式与指数不等式，并证明了Choquet积分条件 $ C_{\mathbb{V}}(|X_1|) < \infty $ 在扩展独立性下是大数定律成立的必要且充分条件。

ABSTRACT

Limit theorems for non-additive probabilities or non-linear expectations are challenging issues which have raised progressive interest recently. The purpose of this paper is to study the strong law of large numbers and the law of the iterated logarithm for a sequence of random variables in a sub-linear expectation space under a concept of extended independence which is much weaker and easier to verify than the independence proposed by Peng (2008b). We introduce a concept of extended negative dependence which is an extension of this kind of weak independence and the extended negative independence relative to classical probability appeared in recent literatures. Powerful tools as the moment inequality and Kolmogorov's exponential inequality are established for this kind of extended negatively independent random variables, which improve those of Chen, Chen and Ng(2010) a lot. And the strong law of large numbers and the law of iterated logarithm are obtained by applying these inequalities.

研究动机与目标

• 将极限定理在次线性期望下的框架，从经典独立性推广至更广泛的情形。
• 引入并分析一种较弱的随机独立性形式——扩展独立性，其验证比彭氏定义更为简便。
• 为扩展负相依随机变量量身定制新的矩不等式与指数不等式。
• 在该扩展相依结构下，建立大数定律与迭代对数律。
• 证明在扩展独立性下，Choquet积分条件 $ C_{\mathbb{V}}(|X_1|) < \infty $ 是大数定律成立的必要且充分条件。

提出的方法

• 通过条件 $ \widehat{\mathbb{E}}[\prod_{i=1}^n \psi_i(X_i)] = \prod_{i=1}^n \widehat{\mathbb{E}}[\psi_i(X_i)] $ 定义扩展独立性，其中 $ \psi_i \geq 0 $ 且属于 $ C_{l,Lip}(\mathbb{R}) $。
• 将扩展负相依性定义为在次线性期望背景下经典负相依性的推广。
• 为扩展负相依随机变量建立新的矩不等式与Kolmogorov型指数不等式。
• 利用Borel-Cantelli引理与上概率测度 $ \mathbb{V}^* $ 的可列次可加性，控制部分和的尾概率。
• 采用截断技术，令 $ Y_k = (-b_k) \vee (X_k \wedge b_k) $，其中 $ b_k = k^\beta $，以控制大偏差。
• 通过子序列论证法，选取 $ n_k = [e^{k^{1-\alpha}}] $，利用部分和增量的指数界证明几乎必然收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在次线性期望下，仍能保证强极限定理成立的最弱随机独立性形式是什么？
• RQ2 在扩展独立性下，是否可在最小矩条件假设下建立大数定律？
• RQ3 如何将矩不等式与指数不等式推广至非线性期望空间中的扩展负相依随机变量？
• RQ4 在扩展独立性下，条件 $ C_{\mathbb{V}}(|X_1|) < \infty $ 是否为大数定律的必要且充分条件？
• RQ5 在次线性期望下，能否为扩展负相依序列证明迭代对数律？

主要发现

• 在扩展独立性下，大数定律成立当且仅当 $ C_{\mathbb{V}}(|X_1|) < \infty $，将Zhang（2016）的结果推广至更弱的相依结构。
• 为扩展负相依随机变量建立了新的矩不等式与Kolmogorov型指数不等式，较Chen, Chen与Ng（2010）的工作有所改进。
• 在次线性期望下，为扩展负相依序列证明了迭代对数律，归一化常数为 $ a_n = \sqrt{2n \log \log n} $。
• 大数定律必要条件的证明依赖于对部分和尾概率测度的精细化分析，并引入子序列 $ n_k = [e^{k^{1-\alpha}}] $。
• 通过指数界与Borel-Cantelli论证，建立了收敛性 $ \mathbb{V}^*\left(\limsup_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n (Y_k - \widehat{\mathbb{E}}[Y_k])}{a_n} > (1+\epsilon)^2\right) = 0 $。
• 该结果在假设 $ \widehat{\mathbb{E}}[X_1] = 0 $，$ \widehat{\mathbb{E}}[X_1^2] = 1 $，且存在 $ \gamma > 0 $ 使得 $ \mathbb{E}[|X_1|^{2+\gamma}] < \infty $ 下成立。