[论文解读] Strong solutions of SDE's with generalized drift and multidimensional fractional Brownian initial noise

David Baños, Salvador Ortiz-Latorre+2 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用 6

一句话总结

该论文证明了在 Hurst 参数 $ H < \frac{1}{2} $ 的情况下，对于由分数布朗运动驱动的多维随机微分方程，其广义漂移项通过解的局部时定义时，强解的存在性。该方法结合了马利avin微积分与一种新颖的局部时变分法，将偏斜布朗运动的概念推广至分数噪声情形。

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of strong solutions to a SDE with a generalized drift driven by a multidimensional fractional Brownian motion for small Hurst parameters H&lt;1/2. Here the generalized drift is given as the local time of the unknown solution process, which can be considered an extension of the concept of a skew Brownian motion to the case of fractional Brownian motion. Our approach for the construction of strong solutions is new and relies on techniques from Malliavin calculus combined with a "local time variational calculus" argument.

研究动机与目标

• 建立一类由多维分数布朗运动驱动、具有广义漂移项的随机微分方程强解存在的证明。
• 将偏斜布朗运动的概念推广至分数布朗运动框架，特别是针对 $ H < \frac{1}{2} $ 的情形。
• 发展一种结合马利avin微积分与局部时变分法的新分析框架，以处理非半鞅噪声。
• 解决在驱动噪声缺乏标准布朗运动所具备的马氏性与半鞅性质时，构造强解的挑战。

提出的方法

• 利用马利avin微积分分析解过程相对于初始噪声的正则性与可微性。
• 引入一种‘局部时变分法’论证，以处理作为解的局部时定义的广义漂移项。
• 在适当的函数空间中应用紧致性准则，提取逼近解序列的收敛子列。
• 应用伽马函数与特殊积分的渐近分析，以控制解过程的矩与范数的增长。
• 依赖于协方差矩阵的永久式与高斯向量的条件方差公式，进行高斯矩估计。
• 利用涉及分数布朗运动核 $ K_H $ 的积分估计，控制增量与霍尔德型正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当驱动噪声为多维分数布朗运动且 $ H < \frac{1}{2} $ 时，是否可以构造出具有局部时漂移项的随机微分方程的强解？
• RQ2 马利avin微积分应如何调整以处理在非马氏性、非半鞅设定下以局部时定义的广义漂移？
• RQ3 在这一非经典随机微分方程框架下，为确保逼近序列的收敛性，需要哪些紧致性与矩估计？
• RQ4 偏斜布朗运动的概念在多大程度上可以推广至 $ H < \frac{1}{2} $ 的分数布朗运动？
• RQ5 为克服驱动噪声缺乏半鞅与马氏性质的问题，需要哪些新的分析工具？

主要发现

• 当 $ H < \frac{1}{2} $ 时，由多维分数布朗运动驱动、具有广义漂移项的随机微分方程存在强解。
• 广义漂移项被定义为解过程的局部时，从而将偏斜布朗运动的概念推广至分数噪声情形。
• 解适应于由分数布朗运动生成的自然滤子，满足强解的性质。
• 该方法依赖于马利avin微积分与局部时变分法的创新性结合，此前未在此类问题中应用。
• 通过矩估计与伽马函数的渐近分析，控制逼近方案中范数的增长。
• 该结果对所有维度 $ d \geq 1 $ 成立，构造过程依赖于 Hurst 参数 $ H $ 与维度 $ d $，其渐近界中的指数为 $ 1 + d $。