[论文解读] Strongly Exponential Separation Between Monotone VP and Monotone VNP

Srikanth Srinivasan|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用 4

一句话总结

该论文通过构造一个显式序列的多重线性多项式，这些多项式属于单调 VNP，且其单调代数电路的大小必须达到 $2^{\Omega(n)}$，从而在单调 VP 与单调 VNP 之间建立了强指数级分离。证明利用了单调电路复杂性与通信复杂性之间的联系，通过多项式分解中系数期望的概率分析，推导出下界。

ABSTRACT

We show that there is a sequence of explicit multilinear polynomials $P_n(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n]$ with non-negative coefficients that lies in monotone VNP such that any monotone algebraic circuit for $P_n$ must have size $\exp(Ω(n)).$ This builds on (and strengthens) a result of Yehudayoff (2018) who showed a lower bound of $\exp( ildeΩ(\sqrt{n})).$

研究动机与目标

• 通过证明单调代数电路计算显式多重线性多项式的强指数下界，解决单调 VP 与 VNP 的问题。
• 将 Yehudayoff 的先前工作（其下界为 $\exp(\tilde{\Omega}(\sqrt{n}))$）强化为强指数下界。
• 证明某些属于单调 VNP 的多重线性多项式无法被小型单调电路计算，从而实现类别的分离。
• 通过多项式分解建立单调电路复杂性与多路划分通信复杂性之间的紧密联系。

提出的方法

• 利用一种表征方法，将单调代数电路大小与多项式分解 $P = \sum_{i=1}^s g_i h_i$ 中非负乘积项的数量联系起来，其中 $g_i$ 和 $h_i$ 为非负多项式且依赖于互不相交的变量集。
• 通过将多项式支撑集与多路划分通信复杂性模型关联，将电路下界问题转化为通信复杂性问题。
• 定义一个随机模型 $M$ 以生成变量子集，并在给定特定结构事件 $\mathcal{E}_{i,j,k}$ 的条件下，分析 $gh$ 中单项式的期望系数值。
• 根据事件 $\mathcal{E}_{i,j,k}$ 的发生概率，将三元组 $(i,j,k)$ 分类为轻量级或重度级，并分别对两类情况的期望系数贡献进行有界估计。
• 应用贝叶斯法则与尾部概率不等式，控制重度情况下的期望系数，利用集中不等式证明误差项的指数衰减。
• 将轻量级与重度级的界合并，证明总期望系数为 $\exp(-\Omega(n))$ 乘以一个基项，从而得出最终的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为计算单调 VNP 中显式多重线性多项式的单调代数电路证明强指数下界？
• RQ2 多项式的支撑结构是否限制其分解中非负乘积项的数量？该限制能否与通信复杂性建立联系？
• RQ3 对随机变量划分中系数期望的概率分析，能否导出紧致的电路大小下界？
• RQ4 是否可能通过一种避免先前下界方法所排除 VNP 成员资格的构造，实现单调 VP 与单调 VNP 的分离？
• RQ5 变量划分的结构性质（如集合大小与边数）如何影响多项式分解中系数的大小？

主要发现

• 存在一个显式序列的多重线性多项式 $P_n$，其系数非负，且属于单调 VNP。
• 任何计算 $P_n$ 的单调代数电路的大小至少为 $2^{\Omega(n)}$，从而确立了强指数级分离。
• 该下界通过分析 $P_n$ 分解为非负乘积项的过程，并将其与多路划分通信复杂性关联而证明。
• 证明使用了概率方法来限制多项式项中期望系数的值，区分了罕见（重度）与常见（轻量）配置。
• 分析表明，在重度配置下，期望系数贡献呈指数衰减，从而得出整体界为 $\exp(-\Omega(n))$ 乘以一个基项。
• 该结果改进了 Yehudayoff 的 $\tilde{\Omega}(\sqrt{n})$ 下界，并与单调电路复杂性中经典下界具有同等强度。