[论文解读] Strongly Hit and Far Miss Hypertopology and Hit and Strongly Far Miss Hypertopology

James F. Peters, C. Guadagni|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文引入了两种新的超拓扑——强命中与远疏（$ olimits^{\doublewedge}_{\mathscr{B}}$）和命中与强远疏（$ olimits_{\doublevee,\mathscr{B}}$）——定义在正则闭集的超空间（$ olimits^{\mbox{RCL}}(X)$）与非空闭集的超空间（$ olimits^{\mbox{CL}}(X)$）上，基于强疏远与强邻近邻近关系。主要贡献在于证明当族$ olimits^{\mathscr{B}}$为正则局部族时，这两种超拓扑均为豪斯多夫（$T_2$）空间，从而推广了基于邻近关系的超空间拓扑中的基础结果。

ABSTRACT

This article introduces the {\it strongly hit and far-miss as well as hit and strongly far miss hypertopologies on $ extrm{CL}(X)$ associated with} ${\mathscr{B}}$, a nonempty family of subsets on the topological space $X$. They result from the strong farness and strong nearness proximities. The main results in this paper stem from the Hausdorffness of $( extrm{CL}(X), τ_{\doublevee, \mathscr{B}})$ and $( extrm{RCL}(X), τ^\doublewedge_\mathscr{B} ) $, where $ extrm{RCL}(X)$ is the space of regular closed subsets of $X$. To obtain the results, special local families are introduced.

研究动机与目标

• 通过使用强疏远与强邻近邻近关系，定义拓扑空间的正则闭集与非空闭集超空间上的新型超拓扑。
• 建立这些超拓扑为豪斯多夫（$T_2$）空间的条件，以确保拓扑分离性。
• 通过引入强邻近公理，推广现有的命中-远疏拓扑（如Fell、Attouch-Wets拓扑）。
• 引入并分析正则局部族的概念，该概念可确保新超拓扑的豪斯多夫性质。
• 展示这些构造在具有正则开/闭集的空间中的适用性，该类空间与数字图像处理及拓扑推理密切相关。

提出的方法

• 通过强邻近关系$ olimits^{\mathop{\delta}\limits^{\doublewedge}}$与基于正则开集$A$的远疏集$A^{++} = \{E \in \mbox{RCL}(X) : E \not\delta X\setminus A\}$，在$\mbox{RCL}(X)$上定义强命中与远疏超拓扑$\tau^{\doublewedge}_{\mathscr{B}}$。
• 通过强疏远关系$ olimits^{\mathop{\not{\delta}}\limits^{\doublevee}}$与基于非空交集的命中集，定义命中与强远疏超拓扑$\tau_{\doublevee,\mathscr{B}}$。
• 引入正则局部族$\mathscr{B}$的概念，要求对每个$x \in X$及$x$的正则开邻域$U$，存在$S \in \mathscr{B}$，使得$x \in \mbox{int}(S) \subseteq S \ll_{\delta} U$。
• 利用强包含关系$A \ll_{\delta} B$（即$A \not\delta X\setminus B$）形式化埃夫雷莫维奇（Efremovič）性质，以确保拓扑中的分离性。
• 利用正则开集与正则闭集之间的对应关系$c(A) = \mbox{cl}(A)$与$o(F) = \mbox{int}(F)$，确保格结构与拓扑一致性。
• 通过证明在正则局部族条件下，$\tau^{\doublewedge}_{\mathscr{B}}$与$\tau_{\doublevee,\mathscr{B}}$中任意两个不同的正则闭集均可被不相交的开集分离，从而证明豪斯多夫性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，$\mbox{RCL}(X)$上的强命中与远疏超拓扑$\tau^{\doublewedge}_{\mathscr{B}}$为豪斯多夫空间？
• RQ2 强邻近与强疏远邻近关系如何改进经典命中-远疏拓扑在超空间构造中的表现？
• RQ3 子集族$\mathscr{B}$需满足何种性质，才能确保新超拓扑的豪斯多夫分离性？
• RQ4 正则局部族条件是否可在标准拓扑空间（如$\mathbb{R}^N$）中实现？其对拓扑结构有何影响？
• RQ5 在分离性与收敛性方面，新超拓扑与经典拓扑（如Fell或Attouch-Wets拓扑）有何关联？

主要发现

• 若$\mathscr{B}$为正则局部族，则$\mbox{RCL}(X)$上的强命中与远疏超拓扑$\tau^{\doublewedge}_{\mathscr{B}}$为豪斯多夫空间。
• 在相同正则局部族条件下，$\mbox{CL}(X)$上的命中与强远疏超拓扑$\tau_{\doublevee,\mathscr{B}}$亦为豪斯多夫空间。
• 对任意正则开集$V$，有$V^{\doublewedge} = \{E \in \mbox{RCL}(X) : E \mathop{\delta}\limits^{\doublewedge} V\}$与$\{E \in \mbox{RCL}(X) : E \cap V \neq \emptyset\}$一致，将强邻近关系与标准拓扑交集联系起来。
• 在$\mathbb{R}^N$中，闭凸集的族构成正则局部族，证明了此类族在常见拓扑空间中的存在性。
• 该构造确保每个正则开集均为正则集，且正则开集与正则闭集之间的对应关系保持格结构，从而支持拓扑一致性。
• 豪斯多夫性证明依赖于强包含关系$S \ll_{\delta} U$，其通过埃夫雷莫维奇性质确保邻域可严格分离，从而实现对不同正则闭集的有效分离。