[论文解读] Strongly Proximal Continuity \& Strong Connectedness

James F. Peters, C. Guadagni|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文引入了强邻近连续性（s.p.c.）与强连通性，基于强邻近关系——一种依赖于集合非空内部的增强邻近关系的拓扑空间。一个关键结果表明，若两个具有兼容强邻近关系的空间之间存在双射的强邻近等价（s.p.e.），则其各自的超空间在强命中与强遗漏超拓扑下诱导出同胚，从而将强邻近性与超空间拓扑及连通性联系起来。

ABSTRACT

This article introduces strongly proximal continuous (s.p.c.) functions, strong proximal equivalence (s.p.e.) and strong connectedness. A main result is that if topological spaces $X,Y$ are endowed with compatible strong proximities and $f:X\longrightarrow Y$ is a bijective s.p.e., then its extension on the hyperspaces $\CL(X)$ and $\CL(Y)$, endowed with the related strongly hit and miss hypertopologies, is a homeomorphism. For a topological space endowed with a strongly near proximity, strongly proximal connectedness implies connectedness but not conversely. Conditions required for strongly proximal connectedness are given. Applications of s.p.c. and strongly proximal connectedness are given in terms of strongly proximal descriptive proximity.

研究动机与目标

• 通过强邻近公理形式化强邻近连续函数与强邻近等价。
• 在赋予强邻近关系的拓扑空间中定义并分析强连通性。
• 建立强连通性蕴含标准拓扑连通性的条件。
• 通过引入与强邻近兼容的强命中与强遗漏超拓扑，拓展超空间相关结果。
• 将该框架应用于实际情境中的描述性邻近性，特别是在计算与几何应用中。

提出的方法

• 使用公理(N0)–(N6)定义强邻近关系，强调集合交集具有非空内部及基于点的邻近性。
• 将强邻近连续（s.p.c.）函数定义为保持子集之间强邻近关系的映射。
• 将强邻近等价（s.p.e.）定义为双向保持邻近关系的双射s.p.c.函数。
• 基于强邻近关系，使用子基元素在超空间CL(X)与CL(Y)上构造强命中与强遗漏超拓扑。
• 证明当赋予该超拓扑时，双射s.p.e.函数在超空间CL(X)与CL(Y)之间诱导出同胚。
• 利用链式构造与正规开集刻画强连通性及其在强邻近关系下的闭包性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，强邻近连通性蕴含标准拓扑连通性？
• RQ2 强邻近连续性与标准拓扑意义下的连续性有何关系？
• RQ3 在超空间之间强邻近等价下，哪些拓扑性质被保持？
• RQ4 能否通过具有非空内部交集的开集链来刻画强连通性？
• RQ5 在何种条件下，强连通集的闭包仍保持强连通性？

主要发现

• 当赋予强命中与强遗漏超拓扑时，任意双射函数f: X → Y若为强邻近等价（s.p.e.），则在超空间CL(X)与CL(Y)之间诱导出同胚。
• 强邻近连通性蕴含标准连通性，但反之不成立，论文通过反例予以说明。
• 若集合A为有限个彼此依次强邻近的正规开集的并，则A的闭包是强连通的。
• 对于任意满足A ⊆ G ⊆ cl(A)且A为强连通的子集G，若在相同强邻近关系下，G亦为强连通。
• 在可数空间中，若每对相邻点均位于一个具有连通内部的连通开集中，则该空间是强连通的。
• 任意强连通空间的每个开覆盖均存在一个强链式开集序列，可连接任意两点，且相邻集合彼此强邻近。