[论文解读] Structure and asymptotics for Motzkin numbers modulo small primes using automata

Rob Burns|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文使用自动机理论方法分析模不超过29的素数时Motzkin数的渐近密度与结构模式。通过基于Rowland和Yassawi框架构建的自动机，推导出精确的渐近密度——例如，对于素数7、17、19，密度为1；对于29，密度为22/3045——并识别出决定$ M_n \equiv 0 \mod p $的p进制展开中的重复形式，揭示出密度要么为1，要么为$ \frac{2}{p(p-1)} $的规律，其中29为显著例外。

ABSTRACT

We establish the asymptotic density and some structure results for the Motzkin numbers modulo primes up to 29 using automata.

研究动机与目标

• 确定模不超过29的素数$ p $时Motzkin数$ M_n \equiv 0 \mod p $的渐近密度，扩展对小素数的先前研究。
• 利用自动机的状态图，识别$ n $的p进制展开中导致$ M_n \equiv 0 \mod p $的结构模式。
• 研究$ S_p(0) $的渐近密度是否遵循$ \frac{2}{p(p-1)} $或1的模式，如在较小素数中所观察到的那样。
• 证明自动机是计算渐近密度并揭示$ M_n \mod p $中重复结构的有效工具，即使对于较大的素数亦然。

提出的方法

• 使用Rowland和Yassawi（2013）的算法构建$ M_n \mod p $的自动机，该算法从Motzkin数的生成函数生成有限状态机。
• 利用这些自动机的状态转移图，识别所有通向输出为0的状态的路径，对应于$ M_n \equiv 0 \mod p $。
• 通过分析$ n $的p进制数位模式，特别是涉及数字块如28和27的模式，表征满足$ M_n \equiv 0 \mod p $的$ n $的集合。
• 应用文献[1]中的定理4，该定理给出形如$ \{ (qi + r)q^{sj + t} \} $的集合的密度，从而实现对每个剩余类密度的精确计算。
• 通过分析自动机状态图中的子图，特别是类似于特定模板（图9）的结构，验证结果并确认密度的下界。
• 使用符号计算处理大型自动机（例如，$ p=29 $时有29个状态），通过聚焦于状态转移中的结构模式，避免完整枚举所有转移。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于7到29之间的素数$ p $，$ M_n \equiv 0 \mod p $的渐近密度是多少？其是否遵循在较小素数中观察到的$ \frac{2}{p(p-1)} $或1的模式？
• RQ2 在$ n $的p进制展开中，哪些结构形式对应于$ M_n \equiv 0 \mod p $？这些形式如何从自动机状态图中推导？
• RQ3 自动机$ M_n \mod p $是否始终包含一个输出为0的环路状态？是否始终存在另外两个非初始状态，其输出也为0，如在所有情况下所观察到的那样？
• RQ4 $ S_p(0) $的渐近密度是否可被下界$ \frac{2}{p(p-1)} $控制？在自动机的何种结构条件下该结论成立？
• RQ5 是否存在一个通用的结构模板（例如，子图模式），在自动机中蕴含最小渐近密度$ \frac{2}{p(p-1)} $，如在$ p=29 $等情形中所见？

主要发现

• 当$ p = 7 $时，$ M_n \equiv 0 \mod 7 $的渐近密度为1，且$ M_n \equiv 0 \mod 7 $当且仅当$ n = 7^k - 2 $。
• 当$ p = 11 $时，$ S_{11}(0) $的渐近密度为$ \frac{1}{55} = \frac{2}{10 \cdot 11} $，与$ \frac{2}{p(p-1)} $模式一致。
• 当$ p = 13 $时，$ S_{13}(0) $的渐近密度为$ \frac{1}{78} = \frac{2}{12 \cdot 13} $，再次与$ \frac{2}{p(p-1)} $公式一致。
• 当$ p = 17 $时，$ S_{17}(0) $的渐近密度为1，且$ M_n \equiv 0 \mod 17 $当$ n = 17^{2k} - 2 $。
• 当$ p = 19 $时，$ S_{19}(0) $的渐近密度为1，且$ M_n \equiv 0 \mod 19 $当$ n = 19^k - 2 $。
• 当$ p = 29 $时，$ S_{29}(0) $的渐近密度为$ \frac{22}{3045} > \frac{2}{28 \cdot 29} $，表明$ \frac{2}{p(p-1)} $模式并不总是成立，且该密度由$ n $的四种不同29进制形式共同决定。