[论文解读] Structure of partially hyperbolic Hénon maps

M. S. Lyubich, Han Peters|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 3

一句话总结

该论文证明了在 Julia 集上具有主导分解的显著耗散复 Hénon 映射，其不存在游荡 Fatou 丛，仅有有限个周期 Fatou 丛（每个均为吸引或抛物型），且满足 $J = J^*$，即 Julia 集是双曲鞍点周期点的闭包。证明依赖于将 Mañé 的技巧扩展至二维情形，通过在 $J^+$ 邻域内引入水平扩张论证与人工竖直层析结构，表明在抛物周期轨道之外区域具有双曲性。

ABSTRACT

We consider the structure of substantially dissipative complex Hénon maps admitting a dominated splitting on the Julia set. The dominated splitting assumption corresponds to the one-dimensional assumption that there are no critical points on the Julia set. Indeed, we prove the corresponding description of the Fatou set, namely that it consists of only finitely many components, each either attracting or parabolic periodic. In particular there are no rotation domains, and no wandering components. Moreover, we show that $J = J^\star$ and the dynamics on $J$ is hyperbolic away from parabolic cycles.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的公开问题：显著耗散 Hénon 映射中游荡 Fatou 丛是否可能存在。
• 将经典的一维无游荡域定理推广至满足主导分解条件的二维 Hénon 映射情形。
• 确立 $J = J^*$，并表明在有限个抛物周期轨道之外，$J$ 上的动力系统具有双曲性。
• 表明此类映射位于参数空间中双曲性区域的边界上，其非双曲性由抛物周期轨道引起。

提出的方法

• 将适用于具有非递归临界点的一维映射的 Mañé 技巧，推广至二维 Hénon 映射情形。
• 在 $J^+$ 的邻域内引入一个人工竖直层析结构，该结构虽非不变，但有助于控制次数并进行层析比较。
• 利用主导分解定义水平锥场，并在抛物周期轨道之外证明水平方向的均匀扩张。
• 将人工层析结构与游荡丛中的动力强稳定层析结构进行比较，以控制迭代次数并阻止游荡行为。
• 应用适配于 Hénon 映射情形的改进版 $\lambda$-引理，以控制横截映射与层状结构。
• 利用鞍点的稳定流形在 $J^+$ 上处处稠密的性质，证明 $J^*$ 在 $J$ 中稠密，从而推出 $J = J^*$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Julia 集上具有主导分解的显著耗散 Hénon 映射中，游荡 Fatou 丛是否可能存在？
• RQ2 一维动力系统中的无游荡域定理是否可推广至此类二维 Hénon 映射？
• RQ3 在主导分解条件下，Julia 集 $J$ 是否等于鞍点周期点的闭包（即 $J^*$）？
• RQ4 在这些假设下，Fatou 集的动力结构如何？
• RQ5 抛物周期轨道的存在如何影响参数空间中双曲性与边界结构？

主要发现

• 在 Julia 集上具有主导分解的显著耗散 Hénon 映射中，不存在游荡 Fatou 丛。
• Fatou 集仅由有限个周期分量构成，每个分量均为吸引或抛物型盆地。
• $J = J^*$，即 Julia 集是双曲鞍点周期点的闭包，因此 $J$ 不包含孤立点。
• 在有限个抛物周期轨道之外，$J$ 上的动力系统具有双曲性，且在水平方向存在均匀扩张。
• 该映射位于 Hénon 型映射族中双曲性区域的边界上，因为小扰动下抛物周期轨道会发生分岔。
• 吸引与抛物周期轨道的数量有限，其中抛物周期轨道的有限性源于其不能位于主导分解区域中。