[论文解读] Structured Semidefinite Representation of Some Convex Sets

J. William Helton, Jiawang Nie|ArXiv.org|Feb 13, 2008

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文提出了由多项式不等式定义的凸集的显式、结构化的半定规划（SDP）表示，利用sos-凹性和正曲率条件。它提供了将此类集合提升至更高维LMI可表示形式的构造性方法，从而可通过标准SDP求解器实现高效优化，关键结果表明在sos-凹性或边界正曲率条件下，SDP表示性成立。

ABSTRACT

Linear matrix Inequalities (LMIs) have had a major impact on control but formulating a problem as an LMI is an art. Recently there is the beginnings of a theory of which problems are in fact expressible as LMIs. For optimization purposes it can also be useful to have "lifts" which are expressible as LMIs. We show here that this is a much less restrictive condition and give methods for actually constructing lifts and their LMI representation.

研究动机与目标

• 解决凸集是否可表示为LMI集合投影的开放问题。
• 为由多项式不等式定义的凸集提供显式、计算上可处理的SDP表示构造方法。
• 将LMI表示性理论从sos-凹多项式扩展至具有正曲率边界的集合。
• 提供在温和几何与代数条件下，可精确表示原凸集的SDP松弛的实用算法。

提出的方法

• 基于定义多项式的次数，利用矩矩阵和辅助变量中的线性矩阵不等式构造SDP松弛。
• 采用sos-凹性条件——即每个多项式的Hessian矩阵为矩阵多项式的平方和——以保证SDP表示的精确性。
• 通过利用变量可分性，分别构造每个变量的稀疏矩矩阵，从而获得更稀疏的SDP表示。
• 将边界上的正曲率条件（通过Hessian矩阵在切空间上的负定性定义）作为SDP表示性的替代充分条件。
• 应用SDP松弛的层次结构，当边界具有正曲率时，该结构可有限收敛，但本文重点在于显式构造而非迭代层次结构。
• 提供一种构造性方法，通过辅助变量将原集合嵌入更高维空间，使得投影可精确恢复原凸集为LMI。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，基本闭半代数凸集可精确表示为谱体（即LMI集合）的投影？
• RQ2 当定义多项式为sos-凹时，能否为这类集合构造显式、有限维的SDP表示？
• RQ3 若定义多项式非凹，但凸集边界具有正曲率，是否仍能保证其SDP表示性？
• RQ4 如何最小化SDP表示的规模，特别是当定义多项式具有稀疏性时？
• RQ5 该构造能否在规模和结构上实现计算高效且可预测？

主要发现

• 当所有定义多项式均为sos-凹时，所提出的SDP松弛（2.4）精确表示原凸集S。
• 通过利用可分性，构造了更稀疏的SDP表示（3.7），将辅助变量数从O(n^d)减少至O(n(d-1))，适用于d次多项式。
• S边界的正曲率条件（通过Hessian矩阵在切空间上的负定性定义）可保证SDP表示性，即使定义多项式非凹。
• 该构造是显式且有限的，其规模已知，与收敛步长常不可预测的迭代层次结构不同。
• 集合{x ∈ ℝ₊ⁿ : x₁x₂⋯xₙ ≥ 1}的实例表明，即使多项式非凹，只要边界具有正曲率，仍可实现SDP表示。
• 本文证实，正曲率条件是严格凸性的自然且非限制性推广，因为对于具有非退化定义函数的严格凸集，该条件恒成立。