[论文解读] Structures of cobordism-like modules induced from generic maps of codimension -2

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文研究了由余维 -2 的一般光滑映射诱导的类似cobordism模的代数结构，重点关注Reeb-可三角剖分映射。通过利用胞腔粘合与粘合技术构造显式的Morse映射和折痕映射，作者证明了这些模具有高度灵活性，表明模中的任一元素均可实现为此类映射的逆像结构。主要贡献在于余维 -2 情形下这些模的结构性灵活性定理。

ABSTRACT

The Reeb space of a smooth map whose codimension is minus is the space defined as the space of all connected components of inverse images. For generic maps such as Morse functions and their higher dimensional versions, they are polyhedra whose dimensions are equal to those of the target manifolds and which have simplicial structures compatible with (the canonical) simplicial structures of the source and the target manifolds, and in considerable cases they inherit fundamental and important invariants of source manifolds. In fact, Reeb spaces are fundamentall tools in the algebraic and differential topological theory of generic maps or the global singularity theory. As one of studies of global topological properties of Reeb spaces, Hiratuka and Saeki showed in 2013 that for generic maps or more precisely, maps compatible with simplicial structures of the manifolds, inducing simplicial structures on the Reeb spaces and having connected components of inverse images of regular values being not null-cobordant, the top-dimensional homology groups with appropriate coefficient rings of the Reeb spaces do not vanish. Later the author extended this theorem: the author has introduced cobordism-like groups based on adjacent relations of connected components of inverse images of regular values and shown a similar theorem.

研究动机与目标

• 研究由余维 -2 的一般映射诱导的类似cobordism模的代数结构。
• 将先前关于Reeb空间与零cobordism的结果推广至具有负余维的更广泛映射类。
• 证明模结构具有灵活性，即任一元素均可实现为适当映射的逆像结构。
• 通过光滑映射的新构造，推广先前关于定向与非定向cobordism不变量的结果。
• 建立一个框架，通过在流形上进行显式的几何与拓扑操作，实现模的任一元素。

提出的方法

• 采用Reeb-可三角剖分映射——即Morse函数与折痕映射的推广——其Reeb空间与PL结构相容。
• 通过胞腔粘合（1-和2-胞腔）在流形上构造局部Morse与折痕映射，以修改边界分量并实现所需的逆像结构。
• 利用粘合技术将局部映射组合为闭流形 $N$ 上的全局映射，确保源流形保持连通。
• 在局部映射像的补集上应用平凡丛扩张，以全局方式扩展映射，同时保持逆像结构。
• 通过在 $S^{n-1}$ 上使用恒等映射的乘积构造，将一维结果推广至高维目标（$n > 1$）。
• 依赖一个关键命题（命题1），该命题允许通过适当的边界配置与胞腔粘合，实现模中的任一生成元。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将余维 -2 的类似cobordism模中的任一元素实现为一般光滑映射的逆像结构？
• RQ2 哪些几何与拓扑操作足以构造具有预设逆像分量的此类映射？
• RQ3 在Reeb-可三角剖分映射与折痕映射的背景下，模结构的灵活性如何体现？
• RQ4 在非定向或实射影情形下，实现元素的限制是什么？障碍为何产生？
• RQ5 通过胞腔粘合与局部映射粘合，模结构在多大程度上可被控制？

主要发现

• 余维 -2 映射的类似cobordism模具有灵活性：模中的任一元素均可实现为Reeb-可三角剖分映射的逆像结构。
• 通过胞腔粘合（1-与2-胞腔）的显式构造，可将边界分量变换为任意期望的连通、闭合、定向曲面配置。
• 通过粘合局部Morse或折痕映射并在补集上平凡扩展，可在闭流形 $N$ 上构造全局映射，同时保持所需的逆像结构。
• 当 $n > 1$ 时，通过在 $S^{n-1}$ 上使用恒等映射的乘积映射实现推广，确保像包含奇异值集的标准 $n$-维邻域。
• 在非定向情形（如 ${ mf N}_2({f R})$）中实现元素的障碍源于非零cobordant流形（如 ${f R}P^2}$），其无法在这些构造中作为逆像实现。
• 证明依赖于一个关键命题，表明任一生成元可表示为正负系数球面的组合，通过对称局部映射与边界粘合实现。