[论文解读] Structures symplectiques et de Poisson sur les champs en catégories

Bertrand Toën|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文通过使用在刚性张量dg范畴中的卡拉比-丘结构和定向，建立了在dg范畴对象的导出模空间上新的辛和泊松结构的存在性结果。它将AKSZ形式化推广到非形态空间的导出模空间，利用ω-范畴中的HKR定理和迹理论，证明了d维卡拉比-丘dg范畴与定向的刚性张量dg范畴，会在其对象的模空间上诱导出2−d次的辛形式。

ABSTRACT

The purpose of this short note is to present two existence results concerning symplectic and lagrangian structures in the derived setting, in situations where the constructions of [Ca] and [PTVV] do not apply. For this we show that symplectic structures can be constructed out of Calabi-Yau structures on sheaves of dg-categories, or out of \emph{orientations} on sheaves of rigid dg-categories. These results follow from two main theorems: the HKR theorem and the cyclotomic aspect of traces in rigid infty-categories.

研究动机与目标

• 将AKSZ形式化扩展至非形式为$\mathbb{R}\mathbf{Map}(X,Y)$的导出模空间，其中评估态射不存在。
• 在$X$缺乏几何实现时，建立在$d$-卡拉比-丘dg范畴$T$的导出模空间$\mathcal{M}_T$上辛结构的存在性。
• 为在非紧或形式边界空间（如$\widehat{\partial}X$）上的联络模空间构造辛与泊松结构，提供一个通用框架，其中标准AKSZ方法失效。
• 通过迹理论与∞-范畴对偶性，统一导出代数几何中非交换与交换辛几何的方法。
• 证明在光滑非紧流形$X$上的平坦联络的导出模空间携带一个度数为$2-d$的规范泊松结构，通过其到边界联络的辛模空间的拉格朗日态射实现。

提出的方法

• 利用高阶HKR定理，将cdga的负循环同调与$S^1 \otimes_k A$的同伦固定点联系起来，从而建立一个自然态射$(S^1 \otimes_k A)^{hS^1} \to \mathcal{A}^{p,\text{cl}}(A)[p]$。
• 在刚性张量∞-范畴中的迹理论，用于构造自然迹与配对，这对定义辛形式至关重要。
• 通过在$d$维dg范畴$T$上的卡拉比-丘结构，构造$\mathcal{M}_T$上的辛形式，得到度数为$2-d$的辛形式。
• 利用在刚性张量dg范畴$T$上的预定向$or: H^\bullet(\text{End}(1)) \to k[-d]$，定义$\mathcal{M}_T$上的辛结构。
• 将迹态射应用于导出栈$X$的导出环路空间$\mathcal{L}X$，将其与循环同调及辛结构联系起来。
• 通过[Me-Sa]与[Pa-To]中的准则，将泊松结构的存在性归约为向辛导出栈的拉格朗日态射的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当缺少源空间$X$导致AKSZ形式化不可用时，能否在dg范畴对象的导出模空间上构造辛结构？
• RQ2 在dg范畴$T$上具有$d$-卡拉比-丘结构时，是否会在$T$中对象的导出模空间栈$\mathcal{M}_T$上诱导出度数为$2-d$的规范辛形式？
• RQ3 即使$X$不是紧致的，能否在光滑非紧流形$X$上的平坦联络的导出模空间上定义辛结构？
• RQ4 是否存在一种通用机制，用于在非紧空间$X$的形式边界$\widehat{\partial}X$上的联络模空间上定义辛与泊松结构？
• RQ5 该新框架能否用于为[An]中所述的$\ell$-adic层的导出模空间赋予辛结构？

主要发现

• 对于$d$-卡拉比-丘dg范畴$T$，其对象的导出模空间栈$\mathcal{M}_T$具有度数为$2-d$的规范辛结构，如定理2.5所确立。
• 当$T$是具有预定向$or: H^\bullet(\text{End}(1)) \to k[-d]$的刚性张量dg范畴时，模空间栈$\mathcal{M}_T$携带一个度数为$2-d$的辛形式，如定理3.7所示。
• 由预定向诱导的态射$u: \mathcal{M}^{\mathcal{T}'} \to \mathcal{M}^{\mathcal{T}}$，当预定向为实际定向时，其拉格朗日结构$h: u^*(\omega) \sim 0$成立。
• 在光滑非紧流形$X$上平坦联络的导出模空间栈$\mathbf{Vect}^\nabla(X)$携带一个度数为$2-d$的规范泊松结构，由其到$\mathbf{Vect}^\nabla(\widehat{\partial}X)$的拉格朗日态射诱导。
• 在$\mathbf{Vect}^\nabla(\widehat{\partial}X)$上的辛结构（其非形式为$\mathbb{R}\mathbf{Map}(X,Y)$）通过定理3.7构造，从而避免了对AKSZ型评估映射的需求。
• 结果可推广至解析与刚性解析情形，暗示该框架可适用于[An]中$\ell$-adic层模空间，借助近期的HKR定理。