[论文解读] On the notion of spectral decomposition in local geometric Langlands

Sam Raskin|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 23被引用 13

一句话总结

本文通过在 de Rham 局部系统模空间上的同调代数，建立了对任意分歧的半单代数群在局部几何朗兰兹纲领中两个自然的谱分解概念之间的等价性。证明了这一无限维模空间的行为类似于阿廷堆栈，从而使得所有表示（而不仅仅是不可约表示）都能进行谱分解，并支持了存在包含剧烈分歧的完整几何朗兰兹理论的猜想。

ABSTRACT

The geometric Langlands program is distinguished in assigning spectral decompositions to all representations, not only the irreducible ones. However, it is not even clear what is meant by a spectral decomposition when one works with non-abelian reductive groups and with ramification. The present work is meant to clarify the situation, showing that the two obvious candidates for such a notion coincide. More broadly, we study the moduli space of (possibly irregular) de Rham local systems from the perspective of homological algebra. We show that, in spite of its infinite-dimensional nature, this moduli space shares many of the nice features of an Artin stack. Less broadly, these results support the belief in the existence of a version of geometric Langlands allowing arbitrary ramification. Along the way, we give some apparently new, if unsurprising, results about the algebraic geometry of the moduli space of connections, using Babbitt-Varadarajan's reduction theory for differential equations.

研究动机与目标

• 澄清非阿贝尔半单代数群在有分歧情况下的局部几何朗兰兹纲领中谱分解的概念。
• 证明基于 DG 范畴和 de Rham 局部系统模空间的两个谱分解候选定义是等价的。
• 证明尽管 de Rham 局部系统的模空间是无限维的，但其具有阿廷堆栈的关键性质，从而可应用同调代数技巧。
• 支持存在允许任意分歧（包括不规则奇点）的几何朗兰兹对应关系的猜想。
• 为将贝林森-别鲁克瓦尼科夫理论扩展到无分歧和正则奇点情形之外，奠定几何与同调代数基础。

提出的方法

• 在穿孔形式环盘 $\overset{\circ}{{\mathcal{D}}}$ 上的 de Rham 局部系统模空间上使用同调代数。
• 应用 Babbitt-Varadarajan 的约化理论来分析具有不规则奇点的微分方程与联络。
• 通过处理拟完美复形与 Tate 模，处理模空间的无限维性质。
• 在 de Rham 上同调设定下，为 $A[[t]]$-格之间的联络映射建立弗雷德霍姆性质。
• 使用正合三角形与锥分解，将局部系统的上同调与截断联络的余核联系起来。
• 应用关于 1-仿射性与导出几何萨塔克定理的结果，以连接已知情形与猜想框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有分歧的半单代数群情形下，局部几何朗兰兹纲领中两个自然的谱分解概念——通过模空间上的 DG 范畴与通过纤维层面分解——是否等价？
• RQ2 尽管是无限维的，是否可以将具有不规则奇点的 de Rham 局部系统模空间视为具有堆栈性质的几何对象？
• RQ3 在几何朗兰兹设定下，是否对 $G(K)$ 的所有光滑表示（而不仅仅是温和或不可约表示）存在一致的谱分解理论？
• RQ4 Babbitt-Varadarajan 约化技术如何推广到基概形上的族的全局设定？
• RQ5 导出代数几何的框架能否用于在剧烈分歧存在的情况下定义并研究谱分解？

主要发现

• 在任意分歧下，局部几何朗兰兹纲领中两个候选谱分解概念——通过模空间上的 DG 范畴与通过纤维层面分解——是等价的。
• 尽管是无限维的，de Rham 局部系统模空间在关键同调性质上表现得如同阿廷堆栈。
• 对于格之间的态射 $\nabla: \Lambda \to \Lambda'$，该映射在基环 $A$ 上的拟完美复形范畴中是弗雷德霍姆的。
• 当 $r$ 足够大时，余核 $\operatorname{Coker}(t^r\Lambda \xrightarrow{\nabla} \Lambda')$ 同伦等价于形如 $P[-1]$ 的复形，其中 $P$ 是有限秩的 $A$-投影模。
• 存在整数 $\ell$ 和 $r_0$，使得对所有 $r \geq r_0$，有 $t^{r+\ell}\Lambda' \subseteq \nabla(t^r\Lambda)$，且商模为有限秩投影模。
• 在穿孔盘上的 de Rham 复形的上同调在基上是完美的，且谱分解与基变换相容。