[论文解读] Subcritical approximation of a Yamabe type non local equation: a Gamma-convergence approach

Giampiero Palatucci, Adriano Pisante+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 33被引用 15

一句话总结

本文通过 $ \Gamma $-收敛技术研究了分数阶 $ H^s $ 空间中临界 Sobolev 嵌入的次临界逼近。证明了当次临界指数趋近临界指数时，逼近问题的最优函数在其定义域闭包的某一点处集中其 $ H^s $ 能量，且极限能量测度为该点处的 Dirac 脉冲。

ABSTRACT

We investigate a natural approximation by subcritical Sobolev embeddings of the Sobolev quotient for the fractional Sobolev spaces $H^s$ for any $0<s<N/2$, using $\\Gamma$-convergence techniques. We show that, for such approximations, optimal functions always exist and exhibit a concentration effect of the $H^s$ energy at one point.

研究动机与目标

• 研究当指数趋近临界阈值时，分数阶 $ H^s $ 空间中次临界 Sobolev 嵌入的极值函数的渐近行为。
• 利用紧致性与变分方法，在次临界逼近框架下建立最优函数的存在性。
• 通过 $ \Gamma^+ $-收敛分析 $ \varepsilon \to 0 $ 时的 $ H^s $ 能量集中现象。
• 表征极值函数能量测度的弱极限为定义域闭包中某一点处的 Dirac delta 函数。
• 证明在极限临界 Sobolev 不等式中，最优常数仅在能量集中表现为 Dirac 脉冲时被实现。

提出的方法

• 通过在约束 $ \|(-\Delta)^{s/2}u\|_{L^2}^2 \leq 1 $ 下的形式化次临界逼近，定义泛函 $ F_\varepsilon(u) = \int_\Omega |u|^{2^* - \varepsilon} \, dx $。
• 将 $ \Gamma^+ $-收敛理论应用于泛函序列 $ F_\varepsilon $，极限泛函定义在表示函数及其能量测度弱极限的对 $ (u, \mu) $ 的空间上。
• 利用基于傅里叶的 $ H^s $ 范数定义及 $ 0 < s < 1 $ 时的 Gagliardo 半范数表示，分析能量结构。
• 通过集中-紧致性原理及在 $ \dot{H}^s $ 和 $ L^{2^*} $ 空间中的弱收敛性建立紧致性。
• 证明对所有 $ (u, \mu) \in X $，有上界 $ F(u, \mu) \leq S^* $，且等号成立当且仅当 $ u = 0 $ 且 $ \mu = \delta_{x_0} $，其中 $ x_0 \in \overline{\Omega} $。
• 利用严格凸性及临界嵌入的非紧性，推导出仅 Dirac 脉冲可实现极限中的最优常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \varepsilon \to 0 $ 时，次临界 Sobolev 嵌入 $ \dot{H}^s(\Omega) \hookrightarrow L^{2^* - \varepsilon}(\Omega) $ 的极值函数会发生什么？
• RQ2 能否使用 $ \Gamma^+ $-收敛框架描述这些极值函数能量测度的极限行为？
• RQ3 临界 Sobolev 不等式 $ \|u\|_{L^{2^*}}^{2^*} \leq S^* \|(-\Delta)^{s/2}u\|_{L^2}^{2^*} $ 的最优常数是否在极限中由非平凡的集中分布实现？
• RQ4 当 $ \varepsilon \to 0 $ 时，极值函数的能量是否在定义域中某一点集中？
• RQ5 在 $ \varepsilon \to 0 $ 的极限下，能量测度 $ |(-\Delta)^{s/2}u_\varepsilon|^2 dx $ 的弱极限的精确表征是什么？

主要发现

• 对于任意 $ 0 < s < N/2 $，通过 $ F_\varepsilon $ 进行的临界 Sobolev 嵌入的次临界逼近，其极值函数 $ u_\varepsilon $ 满足 $ H^s $ 能量在 $ \varepsilon \to 0 $ 时于某点 $ x_0 \in \overline{\Omega} $ 处集中。
• $ F_\varepsilon $ 的 $ \Gamma^+ $-极限是一个定义在对 $ (u, \mu) $ 上的泛函 $ F(u, \mu) $，其中 $ \mu $ 为正 Radon 测度，且 $ F(u, \mu) = \int_\Omega |u|^{2^*} dx + S^* \sum_j \mu_j^{2^*/2} $。
• 极限泛函 $ F $ 的最大值为 $ S^* $，且当且仅当 $ u = 0 $ 且 $ \mu = \delta_{x_0} $（$ x_0 \in \overline{\Omega} $）时取等。
• $ H^s $ 能量测度序列 $ |(-\Delta)^{s/2}u_\varepsilon|^2 dx $ 弱*收敛于 $ \delta_{x_0} $，证实了能量在点处的集中。
• 次临界问题极值函数的存在性由紧嵌入 $ \dot{H}^s(\Omega) \hookrightarrow L^{2^* - \varepsilon}(\Omega) $ 保证，该嵌入在临界情形不成立。
• 临界 Sobolev 常数 $ S^* $ 不被 $ \dot{H}^s(\Omega) $ 中任意非零函数实现，这解释了为何需要逼近方法以及为何会出现能量集中现象。