[论文解读] Subgroup dynamics and $C^\ast$-simplicity of groups of homeomorphisms

Adrien Le Boudec, Nicolás Matte Bon|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 47被引用 9

一句话总结

本文通過證明非阿們剛性穩定子推出非阿們一致重複子群（URS），建立了同胚群中子群動力學與C*-簡約性之間的聯繫。本文提出了一個基於剛性穩定子非阿們性的C*-簡約性判據，證明湯普森群V與某些分段射影群為C*-簡約，提供了首個無自由子群的有限表示C*-簡約群之例子。

ABSTRACT

We study the uniformly recurrent subgroups of groups acting by homeomorphisms on a topological space. We prove a general result relating uniformly recurrent subgroups to rigid stabilizers of the action, and deduce a $C^*$-simplicity criterion based on the non-amenability of rigid stabilizers. As an application, we show that Thompson's group $V$ is $C^\ast$-simple, as well as groups of piecewise projective homeomorphisms of the real line. This provides examples of finitely presented $C^\ast$-simple groups without free subgroups. We prove that a branch group is either amenable or $C^\ast$-simple. We also prove the converse of a result of Haagerup and Olesen: if Thompson's group $F$ is non-amenable, then Thompson's group $T$ must be $C^\ast$-simple. Our results further provide sufficient conditions on a group of homeomorphisms under which uniformly recurrent subgroups can be completely classified. This applies to Thompson's groups $F$, $T$ and $V$, for which we also deduce rigidity results for their minimal actions on compact spaces.

研究动机与目标

• 描述具有微支撐作用的同胚群中的一致重複子群（URS）
• 基於剛性穩定子的非阿們性，建立C*-簡約性的判據
• 分類具有極端邊界作用與最大點穩定子的群中的URS
• 提供無自由子群的有限表示C*-簡約群的新例子
• 證明分支群或為阿們或為C*-簡約，並建立對Haagerup與Olesen結果的逆定理

提出的方法

• 引入微支撐作用的概念，即開集的剛性穩定子非平凡
• 利用閉子群空間上的Chabauty拓撲研究G-不變閉子集
• 應用極小、極端非正則作用於緊空間時的穩定子URS概念
• 構造子群的Schreier圖到Cayley圖的擬等距嵌入，以推導非阿們性
• 運用閉開分割與拓撲全群元素模擬群在軌道上的作用
• 利用非阿們Schreier圖推出非阿們子群的事實，並延伸至剛性穩定子

实验结果

研究问题

• RQ1 在同胚作用下，群作用的何種條件可保證所有非平凡一致重複子群均為非阿們？
• RQ2 能否僅憑剛性穩定子的非阿們性來判斷群的C*-簡約性？
• RQ3 何種條件可確保群的唯一URS為平凡子群、整個群與穩定子URS？
• RQ4 能否為無自由子群的有限表示群建立C*-簡約性？
• RQ5 是否存在Haagerup與Olesen結果的逆定理，即F的非阿們性可推出T的C*-簡約性？

主要发现

• 若在微支撐作用中，每個開集的剛性穩定子均為非阿們，則所有非平凡一致重複子群亦為非阿們
• 湯普森群V為C*-簡約，因其剛性穩定子非阿們且作用為微支撐
• 實直線上分段射影同胚群在相同條件下亦為C*-簡約
• 若群作用為極端邊界作用，且點穩定子最大，剛性穩定子無有限或阿貝爾商群，則其唯一URS為1、G與穩定子URS
• 分支群或為阿們或為C*-簡約，為此類群提供二分法
• 若湯普森群F非阿們，則湯普森群T為C*-簡約，從而證明Haagerup與Olesen結果的逆定理