[论文解读] Sublinear extensions of polygons

Yaroslav Shitov|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 40被引用 11

一句话总结

该论文通过证明每个具有 $ n $ 个顶点的凸多边形均可表示为一个高维多面体的线性投影，从而解决了多面体组合学中长期存在的一个开放问题，该高维多面体的面数最多为 $ 147n^{2/3} $。该结果通过将多边形顶点几何分解为细序列，并应用非负矩阵秩理论来界定扩展复杂度而获得。

ABSTRACT

Every convex polygon with $n$ vertices is a linear projection of a higher-dimensional polytope with at most $147\,n^{2/3}$ facets.

研究动机与目标

• 解决关于凸多边形最坏情况扩展复杂度的第1个问题。
• 确定为使高维多面体线性投影到任意凸 $ n $-边形所需的最少面数 $ \operatorname{pc}(n) $。
• 基于先前文献和维数计数论证，挑战并否定 $ \operatorname{pc}(n) $ 接近 $ n $ 的线性关系的预期。
• 利用几何与代数技术，建立 $ \operatorname{pc}(n) $ 的次线性上界，具体为 $ \operatorname{pc}(n) \leq 147n^{2/3} $。

提出的方法

• 将任意凸 $ n $-边形的顶点集分解为十二个子集，其中每个包含超过两个顶点的子集均为 $ \pi/6 $-细序列。
• 应用引理8，将多边形的扩展复杂度界定为这些子集凸包的扩展复杂度之和加上剩余顶点数。
• 利用推论60，通过其松弛矩阵的非负秩来界定每个子集的扩展复杂度，利用 $ \operatorname{xc}(P) $ 等于 $ P $ 的松弛矩阵的非负秩这一事实。
• 应用不等式 $ \sqrt[3]{t^2} $ 为凹函数的性质，在 $ \sum n_i = n $ 的约束下最大化各子集大小平方的立方根之和，当所有 $ n_i = n/12 $ 时达到最优界。
• 通过代数化简与数值近似，推导出最终界 $ \operatorname{xc}(P) \leq \frac{324}{\sqrt[3]{129}} \cdot 12 \sqrt[3]{n^2 / 12^2} < 147n^{2/3} $。
• 利用已知的非负秩与扩展复杂度结果，包括将扩展复杂度与松弛矩阵的非负秩联系起来的杨纳卡基斯定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 使高维多面体线性投影到任意凸 $ n $-边形所需的最少面数 $ \operatorname{pc}(n) $ 是多少？
• RQ2 凸 $ n $-边形的扩展复杂度能否在 $ n $ 上实现次线性有界？还是其渐近行为为线性或更大？
• RQ3 多边形顶点的几何结构——特别是其角度分布——是否可通过分解为细序列实现次线性扩展复杂度？
• RQ4 能否利用几何分解与凹函数最大化方法，对 $ n $-边形的松弛矩阵的非负秩进行界定？
• RQ5 是否可以构造一个其最优扩展形式需要非平凡数量面的多边形，从而支持 $ \operatorname{pc}(n) $ 的增长速度超过 $ \sqrt{n} $ 的猜想？

主要发现

• 该论文建立了次线性上界：$ \operatorname{pc}(n) \leq 147n^{2/3} $，证明了每个凸 $ n $-边形都是某个高维多面体的线性投影，且该多面体的面数最多为 $ 147n^{2/3} $。
• 该界通过将 $ n $-边形的顶点划分为十二个子集（每个子集要么较小，要么为 $ \pi/6 $-细序列）并求和其各自的扩展复杂度而得出。
• 在 $ \sum n_i = n $ 的约束下，和式 $ \sum_{i=1}^{12} \sqrt[3]{n_i^2} $ 的最大值在所有 $ n_i = n/12 $ 时取得，从而得出最紧的估计。
• 通过不等式 $ \frac{324}{\sqrt[3]{129}} \cdot 12 \sqrt[3]{n^2 / 12^2} < 147n^{2/3} $ 对所有正整数 $ n $ 进行数值验证，确认最终界小于 $ 147n^{2/3} $。
• 该结果否定了先前文献中 $ \operatorname{pc}(n) $ 可能接近 $ n $ 的线性关系的预期，表明其增长速率严格为次线性。
• 该论文支持一个猜想，即 $ \operatorname{pc}(n) = \sqrt{n} \cdot \alpha(n) $，其中 $ \alpha(n) $ 无界，表明扩展复杂度的增长速度超过 $ \sqrt{n} $，其依据来自相关多面体与已知的下界结果。