[论文解读] Sublinear quasiconformality and the large-scale geometry of Heintze groups

Gabriel Pallier|arXiv (Cornell University)|May 22, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 58被引用 4

一句话总结

本文引入了次线性共形性作为拟对称性的推广，用于研究Heintze群和负曲率空间的大尺度几何。它定义了一个新的共形维数不变量 $\operatorname{Cdim}_{O(u)}$，该不变量可区分某些黎曼负曲率齐次空间与Fuchsian建筑物在次线性双Lipschitz等价关系下的差异，并证明了具有阿贝尔幂零部的纯实Heintze群若为 $O(u)$-次线性双Lipschitz等价，则其 $S_\infty$-极限同构，从而解决了三维情形下的一个猜想。

ABSTRACT

This article analyzes sublinearly quasisymmetric homeo-morphisms (generalized quasisymmetric mappings), and draws applications to the sublinear large-scale geometry of negatively curved groups and spaces. It is proven that those homeomorphisms lack analytical properties but preserve a conformal dimension and appropriate function spaces, distinguishing certain (nonsymmetric) Riemannian negatively curved homogeneous spaces, and Fuchsian buildings, up to sublinearly biLipschitz equivalence (generalized quasiisometry).

研究动机与目标

• 将拟对称映射理论推广至次线性共形同胚，以研究大尺度几何。
• 定义并计算一个新的共形维数不变量 $\operatorname{Cdim}_{O(u)}$，该不变量在次线性双Lipschitz等价下保持不变。
• 利用 $S_\infty$-极限构造方法，对具有阿贝尔幂零部的纯实Heintze群在次线性双Lipschitz等价关系下进行分类。
• 证明该不变量可区分Fuchsian建筑物与某些黎曼负曲率空间在次线性双Lipschitz等价关系下的差异。

提出的方法

• 通过使用渐近类 $O(u)$ 与可接受的次线性函数 $u$，引入 $O(u)$-拟对称同胚，推广了拟对称性。
• 将新的共形维数 $\operatorname{Cdim}_{O(u)}$ 定义为双曲空间Gromov边界的一个粗不变量。
• 构造在次线性拟对称映射下保持不变（至参数平移）的局部有界 $p$-变差函数空间。
• 利用 $S_\infty$-极限构造方法，将次线性双Lipschitz等价关系与Heintze群中渐近结构的同构性联系起来。
• 将理论应用于计算Bourdon建筑物的 $\operatorname{Cdim}_{O(u)}$，证明其等于经典共形维数。
• 通过可接受函数 $u$ 的度量估计与对数扭曲控制，证明新共形维数的不变性与稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 纯实Heintze群的 $O(u)$-次线性双Lipschitz等价是否意味着其 $S_\infty$-极限同构？
• RQ2 新共形维数 $\operatorname{Cdim}_{O(u)}$ 是否可区分非等距的Fuchsian建筑物在次线性双Lipschitz等价关系下的差异？
• RQ3 次线性拟对称映射是否保持有界 $p$-变差函数空间（至参数平移）？
• RQ4 $\operatorname{Cdim}_{O(u)}$ 是否等于Heintze群与Bourdon建筑物上经典的Pansu共形维数？
• RQ5 由于 $O(u)$-拟对称映射中ACL性质的失效，是否必须从分析性不变量转向全局几何不变量？

主要发现

• 对于具有阿贝尔幂零部的纯实Heintze群，$O(u)$-次线性双Lipschitz等价意味着其 $S_\infty$-极限同构，从而证实了Cornulier在三维情形下的一个猜想。
• Bourdon建筑物 $I_{pq}$ 的边界共形维数 $\operatorname{Cdim}_{O(u)}$ 等于 $1 + \frac{\log(q-1)}{\log(p-1)}$，与经典共形维数一致。
• 不变量 $\operatorname{Cdim}_{O(u)}$ 在次线性拟对称同胚下保持不变，并可区分某些黎曼负曲率齐次空间。
• 有界 $p$-变差函数空间在次线性拟对称映射下保持不变（至参数 $p$ 的平移），提供了额外的不变量。
• $\mathbf{R}^2$ 上的 $O(u)$-拟对称结构定义良好且在乘积映射下稳定，尽管ACL性质不成立。
• 新共形维数 $\operatorname{Cdim}_{O(u)}$ 在Pansu与Bourdon研究的实例中与经典 $\operatorname{Cdim}$ 一致。