[论文解读] Submodular Function Maximization via the Multilinear Relaxation and Contention Resolution Schemes

Chandra Chekuri, Jan Vondrák+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 31被引用 68

一句话总结

本文提出了一种通用框架，通过多线性松弛和竞争解决方案（CRS），在打包约束下最大化非负子模函数。通过引入基于相关性间隙分析和分数解递归分解的新CRS构造，该框架在由分离 oracle 定义的下闭多面体上，实现了对非单调子模最大化问题的常数因子近似保证，包括拟阵与背包约束的交集。

ABSTRACT

We consider the problem of maximizing a non-negative submodular set function $f:2^N ightarrow \mathbb{R}_+$ over a ground set $N$ subject to a variety of packing type constraints including (multiple) matroid constraints, knapsack constraints, and their intersections. In this paper we develop a general framework that allows us to derive a number of new results, in particular when $f$ may be a non-monotone function. Our algorithms are based on (approximately) maximizing the multilinear extension $F$ of $f$ over a polytope $P$ that represents the constraints, and then effectively rounding the fractional solution. Although this approach has been used quite successfully, it has been limited in some important ways. We overcome these limitations as follows. First, we give constant factor approximation algorithms to maximize $F$ over a down-closed polytope $P$ described by an efficient separation oracle. Previously this was known only for monotone functions. For non-monotone functions, a constant factor was known only when the polytope was either the intersection of a fixed number of knapsack constraints or a matroid polytope. Second, we show that contention resolution schemes are an effective way to round a fractional solution, even when $f$ is non-monotone. In particular, contention resolution schemes for different polytopes can be combined to handle the intersection of different constraints. Via LP duality we show that a contention resolution scheme for a constraint is related to the correlation gap of weighted rank functions of the constraint. This leads to an optimal contention resolution scheme for the matroid polytope. Our results provide a broadly applicable framework for maximizing linear and submodular functions subject to independence constraints. We give several illustrative examples. Contention resolution schemes may find other applications.

研究动机与目标

• 开发一种通用且可扩展的框架，用于在复杂打包约束下最大化非负子模函数。
• 克服先前方法的局限性，这些方法受限于单调函数或特定约束类型（如单个拟阵或背包）。
• 统一并扩展子模最大化在多样化约束族（包括拟阵与背包交集）中的近似算法。
• 建立竞争解决方案与加权秩函数相关性间隙之间的联系，从而实现最优CRS设计。
• 提供一种灵活且模块化的方法，结合不同约束的CR方案，实现多线性松弛解的高效舍入。

提出的方法

• 该方法使用子模函数 f 的多线性扩展 F，将离散优化问题松弛为在多面体 P 上的连续优化问题。
• 将问题表述为在由分离 oracle 定义的下闭多面体 P 上最大化 F(x)，从而实现高效的分数优化。
• 通过按需求大小将元素分组为集合 Nh，对分数解 z 进行递归分解，并按 3^h 的因子缩放。
• 对每组 Nh，应用 (β, 1−β′)-平衡的竞争解决方案于缩放后的解 z^h，生成整数解 y^h。
• 采用随机舍入规则：以 1/2 的概率输出 y^0；否则输出所有 h≥1 的 y^h 的并集，以确保可行性与期望性能。
• 该框架利用线性规划对偶性，将 CR 方案与加权秩函数的相关性间隙联系起来，从而实现拟阵多面体上最优 CR 方案的设计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有分离 oracle 的一般下闭多面体上，为非单调子模最大化问题实现常数因子近似算法？
• RQ2 如何为拟阵与背包等相交约束，有效设计并组合竞争解决方案？
• RQ3 竞争解决方案与加权秩函数相关性间隙之间存在何种理论联系？
• RQ4 多线性松弛方法能否超越单调函数，为非单调情形实现常数因子保证？
• RQ5 是否存在一种通用且模块化的框架，统一子模优化中各类约束类型的舍入技术？

主要发现

• 本文在由分离 oracle 定义的任意下闭多面体上，实现了对非单调子模最大化问题的常数因子近似，扩展了以往仅限于单调函数或特定约束类型的研究结果。
• 提出了一种新颖的竞争解决方案构造，实现了对一般打包约束的 (β/6, (1−β′)/2)-平衡 CRS，优于先前方案。
• 对于拟阵多面体，该框架通过利用加权秩函数的相关性间隙，实现了最优的竞争解决方案。
• 该方法通过递归分解与随机舍入策略，确保了最终整数解的可行性，同时在所有约束类型下保持了约束满足性。
• 该方法推广并统一了先前结果，提供了一个单一框架，能够以常数因子近似保证处理拟阵与背包约束的交集。
• 该框架在非单调子模函数上也表现出有效性，而此前的方法在该情形下成效有限。