[论文解读] Submodular problems - approximations and algorithms

Dorit S. Hochbaum|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文证明了每条不等式约束中至多包含两个变量的子模最小化问题（SM2）可在多项式时间内实现2-近似，且该近似因子在NP≠P的前提下无法改进。此外，研究发现单调约束（系数符号相反）可实现多项式时间内的精确解，而全幺模约束则导致SM2问题为NP-难，揭示了子模优化中复杂性的一个关键分界点。

ABSTRACT

We show that any submodular minimization (SM) problem defined on a linear constraint set with constraints having up to two variables per inequality, are 2-approximable in polynomial time. If the constraints are monotone (the two variables appear with opposite sign coefficients) then the problems of submodular minimization or supermodular maximization are polynomial time solvable. The key idea is to link these problems to a submodular s,t-cut problem defined here. This framework includes the problems: SM-vertex cover; SM-2SAT; SM-min satisfiability; SM-edge deletion for clique, SM-node deletion for biclique and others. We also introduce here the submodular closure problem and and show that it is solvable in polynomial time and equivalent to the submodular cut problem. All the results are extendible to multi-sets where each element of a set may appear with a multiplicity greater than 1. For all these NP-hard problems 2-approximations are the best possible in the sense that a better approximation factor cannot be achieved in polynomial time unless NP=P. The mechanism creates a relaxed "monotone" problem, solved as a submodular closure problem, the solution to which is mapped to a half integral super-optimal solution to the original problem. That half-integral solution has the persistency property meaning that integer valued variables retain their value in an optimal solution. This permits to delete the integer valued variables, and restrict the search of an optimal solution to the smaller set of remaining variables.

研究动机与目标

• 确定每条约束中至多包含两个变量的子模最小化问题（SM2）的近似可解性与复杂性。
• 识别SM2问题在何种条件下可多项式时间求解，而在何种条件下为NP-难。
• 将结果扩展至具有整数重数的多重集。
• 引入并分析新的问题，如子模闭包问题与子模割问题。
• 阐明子模优化中单调约束与全幺模约束结构之间的复杂性差距。

提出的方法

• 提出一种针对NP-难SM2问题的通用2-近似算法，基于可行半整数解的上取整性质，采用舍入技术。
• 将子模闭包问题引入为构建2-近似算法的关键子程序。
• 通过一种强多项式算法，证明SM2问题在单调约束（系数符号相反）下可多项式时间求解。
• 通过将切换子模函数最小化（SSFM）问题归约为二分图上的SM-顶点覆盖问题，证明在全幺模约束下SM2问题为NP-难。
• 通过定义多重集子模函数，将结果扩展至多重集，并证明近似算法的复杂度关于最大重数U是多项式关系。
• 利用子模函数与约束矩阵的结构特性，对不同问题子类的复杂性进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 NP-难SM2问题的最佳可能近似比是多少？该比值是否可在多项式时间内实现？
• RQ2 在何种约束系数条件下（如单调性）SM2问题可实现多项式时间求解？
• RQ3 SM2问题的复杂性与每条约束中包含两个变量的整数线性规划问题相比如何？
• RQ4 子模闭包问题是否可实现强多项式时间求解？其在更广泛近似结果中的作用是什么？
• RQ5 为何全幺模约束矩阵的存在不足以确保子模最小化问题在多项式时间内可解，而在线性规划中却可以？

主要发现

• 所有具有上取整性质或单调约束的SM2问题，均能在多项式时间内实现2-近似。
• SM2问题的2-近似因子在NP≠P的前提下无法改进。
• 具有单调约束（系数符号相反）的SM2问题可在强多项式时间内求解。
• 在全幺模约束矩阵下，子模最小化问题为NP-难，尽管具有相同结构的整数线性规划问题可在多项式时间内求解。
• 子模闭包问题可多项式时间求解，并作为2-近似框架的核心子程序。
• 结果可扩展至多重集，运行时间关于最大重数U为多项式关系，且该依赖关系无法消除，除非NP=P。