[论文解读] Subset Sum Made Simple

Konstantinos Koiliaris, Chao Xu|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新的、概念上简单的子集和问题算法，采用分治法与快速傅里叶变换（FFT），时间复杂度为 $ ilde{O}(ar{t}ar{t})$，与目前已知的最佳确定性时间复杂度一致。该方法基于 $ floorar{n}ar{ar{n}} floor$ 对输入集合进行同余分类，递归计算每个同余类内的子集和，并通过基于FFT的卷积合并结果。

ABSTRACT

Subset Sum is a classical optimization problem taught to undergraduates as an example of an NP-hard problem, which is amenable to dynamic programming, yielding polynomial running time if the input numbers are relatively small. Formally, given a set $S$ of $n$ positive integers and a target integer $t$, the Subset Sum problem is to decide if there is a subset of $S$ that sums up to $t$. Dynamic programming yields an algorithm with running time $O(nt)$. Recently, the authors [SODA '17] improved the running time to $ ilde{O}\bigl(\sqrt{n}t\bigr)$, and it was further improved to $ ilde{O}\bigl(n+t\bigr)$ by a somewhat involved randomized algorithm by Bringmann [SODA '17], where $ ilde{O}$ hides polylogarithmic factors. Here, we present a new and significantly simpler algorithm with running time $ ilde{O}\bigl(\sqrt{n}t\bigr)$. While not the fastest, we believe the new algorithm and analysis are simple enough to be presented in an algorithms class, as a striking example of a divide-and-conquer algorithm that uses FFT to a problem that seems (at first) unrelated. In particular, the algorithm and its analysis can be described in full detail in two pages (see pages 3-5).

研究动机与目标

• 提出一种更简单、更直观的子集和问题算法，实现当前最优的确定性时间复杂度。
• 展示FFT如何以非显而易见的方式应用于经典动态规划问题，该问题具有伪多项式时间复杂度。
• 提供一种清晰、易于教学的算法，适合纳入高级算法课程。
• 与先前方法相比，特别是Bringmann的随机化算法和作者们早期的方法，降低概念与技术复杂度。
• 提供统一且透明的分析过程，可在两页内完整说明，提升教学可及性。

提出的方法

• 将包含 $n$ 个正整数的输入集合 $S$ 按模 $b = \lfloor \sqrt{n\log n} \rfloor$ 划分为 $b$ 个同余类，依据 $x \bmod b$。
• 对每个同余类 $S_\ell$，将元素变换为 $Q_\ell = \{(x - \ell)/b \mid x \in S_\ell\}$，以将问题简化为更小的子集和实例。
• 对每个 $Q_\ell$，使用标准的分治法递归计算所有带基数信息的子集和 $\mathcal{S}^{\#}_{u/b}(Q_\ell)$。
• 通过 $zb + \ell j$ 将结果映射回原始和，其中 $(z,j) \in \mathcal{S}^{\#}_{u/b}(Q_\ell)$，得到 $\mathcal{S}_u(S_\ell)$。
• 使用 $u$-有界成对和运算 $\oplus_u$ 合并所有同余类的子集和，该运算通过FFT高效实现。
• 利用FFT的卷积计算所有同余类间子集和的并集，时间复杂度为 $O(b u \log u)$，其中 $b = \Theta(\sqrt{n\log n})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种更简单、确定性的子集和算法，实现 $\tilde{O}(\sqrt{n}\,t)$ 时间复杂度，而无需依赖复杂的随机化或复杂的递归结构？
• RQ2 如何有效应用快速傅里叶变换（FFT）于子集和问题，该问题本身并不天然涉及卷积？
• RQ3 能否设计一种基于同余划分的分治法子集和算法，并利用FFT高效合并结果？
• RQ4 实现接近最优的伪多项式时间复杂度所需的最小概念开销是多少？
• RQ5 该算法能否足够透明且自包含，以适用于标准算法课程的教学？

主要发现

• 所提算法在 $O(\sqrt{n\log n}\,u\log u)$ 时间内计算出所有不超过 $u$ 的子集和，当 $u = t$ 时，与目前已知的最佳确定性时间复杂度 $\tilde{O}(\sqrt{n}\,t)$ 一致。
• 该算法通过一种清晰的分治策略实现此结果，即基于 $\lfloor \sqrt{n\log n} \rfloor$ 对输入进行同余划分，减小问题规模，并通过基于FFT的高效卷积实现合并。
• 使用FFT计算同余类间子集和的并集是效率的关键，合并结果的总代价被限制在 $O(b u \log u)$ 内，其中 $b = \lfloor \sqrt{n\log n} \rfloor$。
• 该算法是确定性的，避免了Bringmann的 $\tilde{O}(n + t)$ 算法中复杂的随机化和两阶段着色编码，因此更易于教学和实现。
• 分析过程简洁，可在两页内完整呈现，适合纳入高级算法教科书和课程。
• 该算法可推广至AllSubsetSums问题，计算带基数信息的所有子集和，因此可直接应用于原始的子集和判定问题。