[论文解读] Subshifts from sofic shifts and Dyck shifts, zeta functions and topological entropy

Kokoro Inoue, Wolfgang Krieger|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2010

Cellular Automata and Applications参考文献 13被引用 11

一句话总结

本文提出了一类从Sofic移位和Dyck移位导出的编码子移位，通过排除长度为二的特定词，推导出其zeta函数和拓扑熵的精确表达式。关键贡献在于为一种源自Dyck型结构的循环码导出生成函数的闭式公式，从而可通过有理函数及涉及参数J、K、L和N的代数表达式精确计算zeta函数和熵。

ABSTRACT

We introduce a class of coded systems that we construct from sofic systems and Dyck shifts and we study a class of subshifts that we obtain by excluding words of length two from Dyck shifts. We derive expressions for zeta functions and topological entropy. We derive an expression for the zeta function of certain subshifts that we obtain by excluding words from Dyck shifts and of certain subshifts that we obtain by excluding words from the subshifts that are constructed from full shifts and Dyck shifts.

研究动机与目标

• 通过从Dyck移位和Sofic移位中排除特定长度二词，构造新的编码系统。
• 分析这些新构造的子移位的动力学性质——特别是zeta函数和拓扑熵。
• 通过引入具有受控禁止词的参数化子移位族，推广已知的Dyck移位和Motzkin移位结果。
• 在修改后的子移位与各分量子移位的周期点之间建立双射对应关系，实现zeta函数的分解。
• 推导出循环码生成函数的闭式代数表达式，从而获得zeta函数和熵的精确公式。

提出的方法

• 作者通过从Dyck移位以及由全移位和Dyck移位构造的子移位中移除特定长度二词来定义子移位。
• 他们使用有限集Γ中的符号引入标签系统，并通过定义反幺半群关系来建模Dyck型结构。
• 利用循环码及其生成函数的概念，通过公式ζ_Y(z) = 1 / (1 - g(C,z)) 推导出zeta函数。
• 通过排除涉及Ω和Γ中符号的禁止词，构造辅助子移位Y⁺、Y⁻和Ỹ，并利用有理生成函数推导其zeta函数。
• 通过高度函数η和涉及ϑ(γ(-)) = γ(+)的替换规则，建立修改后子移位Ỹ的周期点与各分量子移位周期点之间的双射对应关系。
• 最终通过组合各分量生成函数并求解二次方程，推导出g(C,z)关于参数J、K、L、N的代数表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当从Dyck移位和Sofic移位中排除特定长度二词时，子移位的zeta函数和拓扑熵如何变化？
• RQ2 当引入禁止词时，能否以闭式表达从Dyck移位导出的编码系统的zeta函数？
• RQ3 修改后子移位的周期点结构与原始Dyck和Sofic分量的周期点结构之间存在何种关系？
• RQ4 如何用参数J、K、L和N代数表征所得循环码的生成函数？
• RQ5 在何种条件下，修改后系统的zeta函数可分解为已知子移位的有理函数？

主要发现

• 子移位Ỹ的zeta函数由有理表达式给出：ζ_Ỹ(z) = 1 / [((1 - K z²)(1 - J z) - N z (1 + (L - K) z²)) q(z²) ∑_{0≤r<π} K^r z^{2r}].
• 循环码C的生成函数g(C,z)是如下二次方程的解：g(C,z) = ½[1 - J z + N(L - K) z³ - √((1 - J z + N(L - K) z³)² - 4 N L z³ (1 - J z))].
• 拓扑熵h(X)被计算为可接受词数的指数增长速率，其中h(X) = lim_{n→∞} (1/n) log card(L_n(X)).
• 子移位Y⁺的zeta函数为ζ_Y⁺(z) = 1 / [(1 - J z) q(N z²) (1 - N^π K^π z^{2π})].
• 子移位Ỹ⁺的zeta函数为ζ_Ỹ⁺(z) = 1 / [(1 - J z) q(z²) (1 - K^π z^{2π})].
• 本文建立了Ỹ的周期点与Y⁻、Y(C⁻)、Y(C⁺)和Y⁺的周期点并集之间的双射对应关系，保持周期性，从而实现zeta函数的分解。