[论文解读] Subvarieties of quotients of bounded symmetric domains

Benoît Cadorel|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文为有界对称域商空间中子簇的复双曲性与一般型性质建立了新的基于度量的判别准则，特别适用于球面商和Siegel模空间。通过在子簇的 canonical 线丛上构造一个正曲率度量，作者证明了当线丛 $ L_0 $ 满足某些正性条件时，维数至少为 $ p $ 的子簇为一般型，从而得到了模空间为一般型时水平结构的有效界。

ABSTRACT

We present a new criterion for the complex hyperbolicity of a non-compact quotient X of a bounded symmetric domain. For each p $\\ge$ 1, this criterion gives a precise condition under which the subvarieties V $\\subset$ X with dim V $\\ge$ p are of general type, and X is p-measure hyperbolic. Then, we give several applications related to ball quotients, or to the Siegel moduli space of principally polarized abelian varieties. For example, we determine effective levels l for which the moduli spaces of genus g curves with l-level structures are of general type.

研究动机与目标

• 为有界对称域非紧商空间中的 $ p $-测度双曲性与一般型性质发展统一的、基于度量的判别准则。
• 在不依赖 Hodge 结构变化的前提下，推广算术商空间中 Kobayashi 双曲性与代数双曲性的已有结果。
• 给出模空间为一般型时，使得亏格 $ g $ 曲线的模空间为一般型的水平结构 $ l $ 的有效界。
• 通过 canonical 线丛正性，建立一种构造性方法，用于判断此类商空间中子簇是否为一般型。

提出的方法

• 通过 Bergman 度量的扭曲，构造子簇 $ V \subset \overline{X} $ 的 canonical 线丛 $ K_V $ 上的正曲率度量。
• 应用 Boucksom 定理，推导出 $ K_V $ 的大性，从而推出 $ V $ 为一般型。
• 定义一个线丛 $ L_0 $，其正性决定了双曲性与一般型条件。
• 使用组合优化过程计算控制 $ L_0 $ 正性阈值的关键常数 $ C_p $。
• 基于格点构型与权分布，使用 Python 编写的递归算法计算 Hermitian 对称域 $ \mathbb{H}_g $ 的 $ C_p $。
• 将 $ L_0 $ 的正性与基点集包含于边界除子 $ D $ 的关系联系起来，确保不位于 $ D $ 中的子簇为一般型。

实验结果

研究问题

• RQ1 当线丛 $ L_0 $ 的正性满足何种条件时，维数至少为 $ p $ 的子簇 $ V \subset X $ 必为一般型？
• RQ2 能否在有界对称域的商空间中，通过度量方法统一处理 Kobayashi 双曲性与 $ p $-测度双曲性？
• RQ3 何种有效水平 $ l $ 可保证亏格 $ g $ 曲线的模空间带有 $ l $-水平结构时为一般型？
• RQ4 如何在不使用 Hodge 结构理论的前提下，建立子簇 canonical 线丛大性的判别方法？
• RQ5 Siegel 模空间 $ A_g $ 中决定一般型行为阈值的常数 $ C_p $ 的精确值是什么？

主要发现

• 当 $ g \geq 12 $ 时，若 $ l \geq 2g+1 $，则亏格 $ g $ 曲线带有水平结构 $ l $ 的模空间为一般型，优于以往结果。
• 模空间 $ \overline{A_g}^{BB} $ 有一个解析解 $ \widetilde{A_g} $，使得任意满足 $ \mathrm{codim} V \leq g-12 $ 且不位于边界或例外除子中的子簇 $ V $ 均为一般型。
• 对于域 $ \mathbb{H}_g $，关键常数 $ C_p $ 通过递归 Python 算法计算得出，当 $ p = \frac{g(g+1)}{2} - (g-12) $ 时，$ C_p = \frac{g+1}{12} $，确保 $ L_0 $ 的正性。
• 当 $ \Gamma \subset \mathrm{Aut}(\Omega) $ 为一个精细算术格时，若 $ L_0 $ 为正，则 canonical 线丛 $ K_{\overline{X}} $ 为大，从而 $ \overline{X} $ 为一般型。
• 该方法避免了使用 Hodge 结构理论变化，为 Brunebarbe 关于代数双曲性的结果提供了一种基于度量的替代方法。
• 本文证明：若 $ L_0 $ 的基点集包含于边界 $ D $，则 $ \overline{X} $ 中维数 $ \geq p $ 的子簇 $ V \subset \overline{X} $ 为一般型，当 $ \alpha > \frac{1}{C_p} $ 时该条件成立。